Теория функций комплексного переменного лекция

Теория функций комплексного переменного.

Лекция 1.

Комплексным числом называется выражение вида , где и — числа, — мнимая единица, — действительная часть комплексного числа, — мнимая часть комплексного числа.

Y

y

0 x X

Основные действия:

Сложение, вычитание

При данном определении выполняются законы сложения, переместительный и сочетательный:

Умножение Деление (обратное умножение)

где — вещественные числа.

Будем обозначать

Введем обозначение

Запишем следующим образом:

Рассмотрим комплексное число

где  — реальная часть,  — мнимая часть.
Тогда комплексное сопряженное число

И

где  по определению.

Кроме алгебраической формы комплексного числа еще имеется тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Для получения тригонометрической формы комплексного числа необходимо на комплексной плоскости, т. е. в плоскости, каждая точка которой соответствует каждому комплексному числу (полярная система координат, совмещенная с декартовой системой координат) установить взаимное соответствие, следующим образом:

1.)  Ввод прямоугольной системы координат ( XOY), тогда абсцисса произвольной точки на этой плоскости принимается действительной, а ордината мнимой.

2.)  Из начала координат провести точку изображения комплексного числа z, ввести угол φ, между этим радиус-вектором, отсчитывать по часовой стрелке.

У Arg Z выделяется основной промежуток изменений:

1.) 

2.) 

Тригонометрическая форма комплексного числа z = r (cos  + i sin ) (1.1)

ArgZ = φ = arctg +mπ (1.2)

m = 0, для I и IV четвертей

m = 1, для II четверти

m = -1, для III четверти

Из тригонометрической форы комплексного числа можно получить показательную, используя формулу Эйлера: eiφ =

(1.3)

(1.4)

(1.5)

(1.6)

Из функции можем записать показательную форму:

(1.7)

(1.8)

Действия над комплексными числами задаются тригонометрической форме.

Таким образом, при перемножении комплексных чисел, их модули перемножаются, а аргументы складываются.

(1.10)

(1.11)

(1.12)

(1.13)

Формула Муавра (1.14) позволяет получить формулу для корня n-ой степени из числа z.

Требуется по заданному числу z найти комплексное число ω

Найдем значения, которые может принимать k

(1.15)

n=0,1,2,…

Определение функции комплексного переменного.

Пусть на некотором множестве (множестве комплексных чисел, где каждому значению z из этого множества поставлено в соответствии одно или несколько значений другого комплексного числа ()), существует комплексная переменная. называют функцией комплексного переменного и обозначают

U=Re f(z) — действительная часть. V=Im f(z) — мнимая часть.

Если в данном определении каждому поставлено только одно значение, функция комплексного числа называется однозначной, а если несколько значений — многозначной.

Замечание: На множестве комплексных чисел неопределенны понятия больше или меньше (нельзя говорить, что одно больше другого), но вместе два комплексных числа называются равными, если равны их действительная и мнимая части.

Множество называется множеством значений независимой переменной Z или областью определения f(z).

В общем случае, действительная и мнимая части f(z) являются функциями переменных X и Y.

Например,

Требуется найти действительную и мнимую части.

Определение:

Точка называется внутренней точкой множества , если существует ε-окрестность этой точки, все точки которой принадлежат окрестности . Множество называется областью, если выполняются два следующих условия:

1.)  Свойство открытости: Каждая точка множества — внутренняя.

2.)  Свойство связности: Любые две точки множества можно соединить ломаной линией, все точки которой принадлежат множеству .

Область конечная или ограниченная, если все точки этой области принадлежат некоторому кругу с радиусом r ()/

Точка Z называется граничной точкой области , если в любой окрестности этой точки имеются, как точки, принадлежащие области , так и не принадлежащие области . При этом сама граничная точка Z не принадлежит области .

Множество всех граничных точек называется границей . Область вместе со своей границей называется замкнутой областью ().

.

Задачи:

Лекция 2.

Предел функции комплексного переменного.

Число А называется f(x) для y=f(x) для любого ε>0 (Существует такое (ε)>0, что для любого выполняется 0<< (ε))

: < ε

Определим комплексную переменную аналогичным способом:

Число называется пределом при

(2.1)

Запись (2.1) содержит два предела, для действительной и мнимой частей комплексного переменного.

Таким образом из (2.1) получим:

(2.2)

(2.3)

Определение предела предполагает, что он существует в том случае, если результат предельного перехода из точки Z в точку Z0 не зависит от способа этого предельного перехода, если это условие выполняется, то, говорят, что предела в соответствующей точке не существует.

Y

X

Т. к. определение функции комплексного переменного аналогично, как определению функции одной переменной, так и функции двух переменных, то все свойства пределов, полученных для функции одной и двух переменных, остаются для предела функции комплексного переменного.

Свойства:

Если , то этот предел едиственный.

Если выполняется (2.1), то ∃ ∆ окрестности точки О, в которой ограничен.

Если , то в этой же точке ,

,

.

Для доказательства этих свойств нужно использовать следующие неравенства:

1.)  (2.4)

2.)  (2.5)

Рассмотрим первое из этих неравенств:

Таким образом, чтобы доказать это неравенство достаточно использовать неравенство Коши — Буняковского.

Левая часть полученного неравенства представляет собой квадратный трехчлен по переменной Х, т. к. он не отрицателен при любых значениях Х, то его D должен быть не положительным.

(2.6)

Применим соотношение (2.6) к доказательству (2.4): ч. и т. д.

Аналогично применим соотношение (2.6) к доказательству (2.5):

ч. и т. д.

частным случаем функции комплексного переменного является последовательность комплексных чисел

Также, как и для функции комплексного переменного, справедливы все свойства числовых последовательностей, доказанные в математическом анализе.

Докажем единственность предела однозначной функции:

Для любого положительного ε существует такое положительное δ(ε), что для любого выполняется не равенство

ч. и т. д.

Докажем, предел суммы равен сумме пределов:

ч. и т. д.

Непрерывность функции комплексного переменного.

непрерывна в точке Z0 , , если предел функции в точке Z0 существует и равен значению функции в этой точке.

(2.7).

Исходя из определения предела и непрерывности f(z) получим, что непрерывность функции f(z) влечет за собой непрерывность действительной и мнимой частей данной функции.

Следовательно, (2.8)

и (2.9).

Справедливо и обратное утверждение. Действительно, пусть выполняется (2.8) и (2.9). Таким образом, докажем, что выполняется соотношение (2.7)

Для функции комплексного переменного, непрерывной в замкнутых областях, остаются справедливыми свойства действительной функции двух переменных, непрерывной в замкнутой области, а именно:

Производная функции комплексного переменного.

Производной комплексного переменного =f(z) в точке z, называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента , при

(2.10)

Производная функции комплексного переменного существует, если существует предел в левой части соотношения (2.10). и тогда соотношение (2.10) можно записать в виде предела отношения разностей в точке : (2.11).

Условия дифференцирования.

Функция комплексного переменного, имеющая в данной точке производную, называется дифференцируемой в этой точке. Установим условия дифференцирование комплексного переменного: (2.12).

Для получения условия дифференцирования воспользуемся тем, что результат предельного перехода в соотношении (2.12) не должен зависеть от способа перехода. Поэтому, выполним два предельных перехода:

Тогда в первом случае соотношение (2.12) примет следующий вид:

Из условия равенства соотношений (2.13) и (2.14) получаем условие дифференцируемости комплексного переменного в заданной точке:

Условия (2.15) и (2.16) называются условиями Коши-Римана. Соотношения (2.15) и (2.16) были получены исходя из предположения, что функция f(z) имеет производную в рассматриваемой точке.

Рассмотрим обратную задачу: « Достаточно ли условий (2.15) ,(2.16) и дифференцируемости функций U(x;y) и V(x;y) в заданной точке для того, чтобы функция f(z) была дифференцируема в соответственной точке?» С учетом условий Коши-Римана из (2.17) получим:

Из полученного выражения следует, что

Так как второе и третье слагаемые равны нулю (в силу того, что величины представляют собой произведение бесконечно малых величин при на ограниченной величине

и так как полученное выражение для производной совпадает с соотношением (2.13), то это означает, что функция f(z)дифференцируема в рассматриваемой точке.

Что и требовалось доказать.

Таким образом, доказана следующая теорема:

Если функция f(z)=U(x;y)+iU(x;y) определена в точке z, , а функции U(x;y) и V(x;y) дифференцируемы в точке M(x;y), то для того, чтобы функция f(z) были дифференцируема в рассматриваемой точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись условия Коши-Римана (2.15) и (2.16).

Функция f(z) называется аналитической или регулярной в области D, если он дифференцируема в каждой точке этой области. Так как определение производной функции f(z) формально такое же, как определение функции одной переменной, то для аналитической функции остаются справедливыми правила дифференцирования, а также таблица производных основных элементарных функций, например:

Действительная и мнимая части аналитической функции являются гармоническими функции в области аналитичности f(z), т. е. удовлетворяют в этой области уравнению Лапласа

Аналогично продифференцируем первое условие Коши-Римана по переменной y, а второе условие по переменной x, и, вычитая из условия (1) условие (2), получим уравнение Лаплпаса для функции.

Замечание.

Две произвольные гармоничные функции в общем случае не являются действительной и мнимой частями аналитической функции. Кроме условия гармоничности они ещё должны обладать условием Коши-Римана.

Две гармоничные функции, удовлетворяющие условию Коши-Римана, называютcя сопряженными гармоническими функциями.

Лекция 3.

Геометрический смысл модуля и аргумента производной.

Рассмотрим аналитическую функцию и аналитическую точку .

Так как точка принадлежит области аналитичности f(z) , то производная этой функции в точке существует и её можно записать в следующем виде:

Так как согласно соотношению (1.13) , то теперь выражение (3.1) можно переписать в следующем виде:

Результат предельного перехода в (3.2) в силу аналитичности f(z) не зависит от прямой, по которой мы осуществляем этот предельный переход. Поэтому выполним предельный переход по непрерывным (гладким ) линиям и .

,

Где и соответственно углы наклона касательных к линиям и в точке . Это связано с тем, что . Это угол наклона хорды соответствующей кривой, соединяющей точки и . При , т. е. при указанная хорда займёт положение касательной. Аналогично

.

Возвращаясь к (3.2) имеем:

Т. е. для ,

Для .

Сравнивая оба выражения, получим :

,

Где — это угол между касательными к линиям и в точке их пересечения;

— это угол аналогичного смысла для линий и .

Т. к. функция комплексного переменного f(z), как и любая другая функция может быть трактована как отображение, то соотношение (3.3) означает, что при отображении, осуществляемом аналитической функцией имеет место сохранение углов (какой угол был в плоскости z, такой же останется и в плоскости w). При этом, определяет угол поворота прямой или отрезка прямой в указанном отображении, в этом заключается геометрический смысл аргумента.

На основании теоремы о связи между функцией, её пределом и бесконечном малом:.

Исходя из соотношения (3.4) получим:

,

Где .

Тогда ,

Где о — бесконечно малое, более высокого порядка, чем .

Тогда из выражения (3.5) имеем: , с точностью до (3.6)

Соотношение (3.6) означает постоянство растяжения или сжатия расстояний между двумя точками в окрестности точки , при их отображении с помощью аналитической функции. Поэтому, при сам модуль имеет геометрический смысл коэффициента растяжение или сжатия. Расстояние между точками, в окрестности точки — это отображение аналитической функции. Такие отображения, при которых имеет место сохранение углов и постоянство растяжений, называются конформными. Таким образом, аналитические функции — это функции, осуществляющие конформные отображения с комплексной плоскости Z на комплексную плоскость W.

Функции комплексного переменного:

1.)  Степенная функция ( в соответствии с формулой Муавра. Функция аналитическая, т. к. для неё выполняются условия Коши-Римана. Но т. к. функция представлена в тригонометрической форме, то нужно воспользоваться условиями Коши-Римана, которые имеют следующий вид для тригонометрической формы: (3.7).

В качестве

.

Задача: Вывести условие Коши-Римана, если действительная и мнимая части аналитической функции выражены через и .

Эта функция в отличие от рассмотренной выше, не является однозначной, т. к. каждому значению Z соответствует n значение функции . Каждое значение n даёт отдельную ветвь функции . Для выделения какой-либо ветви обычно удаляют из комплексной плоскости отрицательную часть действительной оси путём разреза.

Проверим выполняются ли условия Коши-Римана:

Условия выполняются, следовательно, каждая ветвь функции — аналитическая.

Аналитичность доказывается аналогично.

2.)  Показательная функция

Функция аналитическая во всех плоскостях. Алгебраические свойства этой функции аналогичны алгебраическим свойствам степенной функции.

Функция периодичная по переменной y, с периодом

В качестве

.

3.)  Тригонометрическая функция

Найдем действительную и мнимую части функции и докажем, что

Функция — гиперболический косинус

Функция — гиперболический синус.

Аналогично доказывается следующее:

Следовательно,

Эта функция бесконечнозначная и каждая её ветвь — аналитическая функция.

Основное тригонометрическое гиперболическое тождество.

12.) Общая степенная функция

Тогда

Проверим, выполняется ли условие Коши-Римана:

Лекция 5.

Рассмотрим интеграл

Оба интеграла в соотношении (5.1) — общие криволинейные интегралы второго рода.

Интегралы такого типа могут зависеть или не зависеть от пути интегрирования. Было установлено что, для того, чтобы интеграл не зависел от пути интегрирования необходимо и достаточно, чтобы этот интеграл по любому замкнутому контуру равнялся нулю. Условия выполнения этого свойства были получены из теоремы Грина-Остроградскго, которая связывает криволинейный интеграл по замкнутому контуру с двойным интегралом по области D, ограниченный этим замкнутым контуром.

L — граница области D.

Соотношение (5.2) справедливо при следующих положениях:

1.)  и непрерывны в области D.

2.)  Частная производная первого порядка P и Q непрерывна в области D.

Т. к. интеграл в левой части выражения (5.2) равен нулю, в случае его независимости, то, следовательно, равен нулю и двойной интеграл в правой части выражения (5.2). отсюда получаем аналитическое условие независимости интеграла от пути интегрирования в области D (5.3).

Запишем условие (5.3) для интегралов и

Для :

Для :

Полученные равенства совпадают с условиями Коши-Римана для функции f(z).

Таким образом, доказана следующая теорема:

Если функция f(z) — аналитическая в односвязной области D, то интеграл от этой функции не зависит от пути интегрирования или, что тоже самое, равен нулю по любому замкнутому контуру, лежащему в области аналитичности f(z).

Приведенное выше доказательство теоремы и привлечение требований непрерывности , z принадлежит области D, которая не содержится в том определении аналитичности, которое было дано выше. Однако, теорема была доказана в приведенной выше формулировке.

Следствие: теорема остается справедливой и, в случае если замкнутый контур L совпадает с границей области D (). Однако, необходимо потребовать непрерывность функции f(z) в области D, т. к. это необходимо для существования криволинейного интеграла).

Теорема остается справедливой и для многосвязной области D, ограниченной контурами . При этом функция f(z) должна быть аналитическая в области D и непрерывна в замкнутой области D. Для установления того условия для интеграла , которое должно выполняться в этом случае. Сделаем границу области D связанной, для этого соединим замкнутые контуры , с внешней границей L в области D.

В результате такого соединения, область D станет односвязной. И тогда, по доказанной теореме, интеграл по суммарному замкнутому контуру C. — интегральная система Коши для многосвязной области.

«» — внутренние контуры обходятся против часовой стрелки.

«» — внутренние контуры обходятся по часовой стрелке.

Таким образом, справедлива следующая интегральная теорема Коши для многосвязной области:

Если функция f(z) аналитическая в многосвязной области D, ограниченной кусочно-гладкими контурами и т. д., непрерывна в замкнутой области D, то интеграл по всей границе области D равен нулю ( внутренние контуры обходятся по часовой стрелке).

Теорема Коши позволяет ввести понятие неопределенного интеграла.

Пусть функция является аналитической.

Возьмём в области D произвольные точки и .

Очевидно, что функция Ф(z) будет однозначной функцией комплексного переменного z, т. к. этот интеграл по теореме Коши не зависит от пути соединения точек и , лежащих в области аналитичности.

Покажем, что данная функция является аналитической. Для этого выберем еще одну точку и рассмотрим следующее:

В качестве линии, соединяющей точки и , можно взять прямолинейный отрезок, соединяющий эти точки.

Из соотношений (5.8) следует:

Т. к. функция f(z) — аналитическая, то она непрерывна, в том числе и на отрезке, соединяющем точки и , а значит, по теореме Кантора, она и равномерно непрерывна на этом отрезке, это означает

С учетом этого получено:

В соответствии с определением предела, это означает:

Таким образом,

По аналогии функции действительной переменной. Функция называется первообразной аналитической функции

Очевидно, что функция имеет бесконечное множество первообразных, т. к. они отличаются одна от другой на комплексную постоянную

При этом, совокупность всех первообразных также называется неопределенным интегралом аналитической функции При этом, справедливы все свойства неопределенного интеграла, аналогичные свойствам неопределенного интеграла одной переменной. При этом, можно использовать таблицу неопределенных интегралов.

Выполним по формуле Ньютона — Лейбница:

Интегральная формула Коши.

Пусть функция — аналитическая в односвязной области в замкнутом контуре .

В этой области рассмотрим функцию . Функция аналитическая в области всюду, за исключением точки . Опишем вокруг точки кусочно-гладкий контур, тогда в получившейся двусвязной области, ограниченной контурами и . Функция будет аналитической. Возьмём в указанной области кусочно-гадкий контур . Тогда по теореме Коши получим:

Интеграл в левой части соотношения (5.13) берётся по контуру , а в правой части — по контуру , т. е. по разным контурам, поэтому равенство между левой и правой частями данного соотношения возможно только в том случае, если результат не зависит от выбора контура интегрирования. В качестве контура выберем окружность с радиусом в точке

Модуль функции является непрерывным и, следовательно:

Тогда в данных условиях:

Следовательно при из соотношения (5.14)

Переходя в выражение (5.13) при

Получим интегральную формулу Коши для произвольной точки :

Справедлива и более общая следующая формула:

Лекция 6.

Продифференцируем соотношение (5.16), используя формулу для нахождения производной функции комплексного переменного:

Убедимся в справедливости результата отдельного перехода:

бесконечно малое при .

На основании теоремы о связи функции, её предела и бесконечно малого, можно доказать, что разность есть бесконечно малое и стремится к нулю при

Функция предполагается аналитической в области D (как и при выводе формулы Коши), ограниченной замкнутым контуром L. Следовательно, функция непрерывна в области D, а значит и на контуре C.

Отсюда следует, что

и соответственно равны расстоянию между от точек и до контура С.

длина замкнутого контура.

Причем

Переходим к следующему двойному неравенству:

При правая часть записанного неравенства будет также стремиться к нулю, т. е. :

Что и требовалось доказать. Полученный результат означает, что

Формула (6.1) легко доказывается по индукции:

(Выше записана формула бинома Ньютона, n — неотрицательное целое число)

Таким образом, формула (6.1) верна. Данная формула указывает на существование производной любого порядка у аналитической функции. На основании этого результата и теоремы, доказывающей справедливость соотношения (5.10) можно сформулировать теорему Морера:

« Если функция f(z)непрерывна в односвязной области D и интеграл по любому замкнутому контуру L в области D равен нулю, то функция f(z) является аналитической в области D».

Доказательство:

Теорема, доказывающая справедливость (5.10) остается справедливой при замене требования аналитичности f(z) двумя условиями:

1.)  непрерывностью

2.)  независимостью интеграла от пути интегрирования.

Отсюда следует существование и далее в соответствии с выражением (6.1) существование всех остальных производных, порядка выше первого.

Принцип максимума модуля аналитической функции.

Если функция является аналитической в области и непрерывна в замкнутой области , то

Написанное выше доказывается исходя из формулы Коши и понятия о среднем значении.

Ряды в комплексной плоскости.

Теория рядов в комплексной плоскости строится аналогично теории рядов для действительной плоскости.

Рядом называется выражение вида:

Если не зависит от переменной Z, , то ряд числовой.

Если , то ряд функциональный, где — члены ряда.

— общий член ряда.

Сумма n первых членов ряда называется, n-ной частичной суммой ряда и обозначается , если существует .

В этом случае говорят, что ряд (6.4) сходится, в противном случае — расходится. Т. е. значения Z, для которых ряд (6.4) сходится, называются областью сходимости функционального ряда (6.4).

Зависимость не только от , но и от , обусловлена тем, что из каждого заданного значения из области сходимости ряда (6.3), данный ряд превращается в числовой и для каждого такого числового ряда при заданном значении будет свой номер , начиная с которого будет выполняться неравенство: .

Рассмотрим функциональный ряд

Возникает вопрос, можно ли в области сходимости ряда (6.3) указать такое , зависящее только от , но не зависящее от Z, что при заданном неравенство выполняется сразу для всех Z из области , как только станет больше чем .е

Если такое возможно, то функциональный ряд (6.3) называется равномерно сходящимся в области . Это означает также, что функциональная последовательность частичных сумм ряда (6.3) сходится равномерно к функции в области .

Ряд (6.3) называется равномерно сходящимся в области , если

Достаточным признаком сходимости функционального ряда (6.3) является признак Вейерштрасса, который формулируется следующим образом:

«Если члены функционального ряда (6.3) в области не превосходят по абсолютной величине соответствующих членов числового ряда ; , то ряд (6.3) сходится равномерно в области ».

Доказательство:

Заметим, что , где — n-ный остаточный член ряда или остаток ряда и обозначается .

С учётом равномерной сходимости имеем:

Таким образом, ряд сходится, отсюда следует, что ряд (6.3) сходится равномерно.

А т. к. ряд (6.3) сходится равномерно в области , то он обладает в данной области следующими свойствами:

1.)  Если все члены ряда непрерывны в области , то сумма ряда также непрерывна в области .

2.)  Если все члены ряда непрерывны в области , то ряд (6.3) можно почленно интегрировать по любой линии лежащей в области . Операция интегрирования допустима.

3.)  Если члены ряда являются аналитическими в области функции, то сумма ряда также является аналитической в области функции и допускает почленное дифференцирование любое число раз.

На практике исследования сходимости ряда следует начинать с проверки выполнения необходимого признака сходимости ряда, т. е., если ряд (6.3) сходится, то .

Если тождество (6.6) не выполняется то ряд расходится. После проверки выполнения условия (6.6), в случае его выполнения необходимо применить достаточные признаки сходимости, наиболее часто используют следующие:

1.)  Признак сравнения:

Если даны и , и , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

2.)  Признак Даламбера:

Если , то ряд сходится;

Если , то ряд расходится;

Если , то данный признак ответа не даёт.

3.)  Радикальный признак Коши:

Если , то ряд сходится;

Если , то ряд расходится;

Если , то данный признак ответа не даёт.

Кроме того, на практике, полезно также помнить, что для сходимости ряда (6.3) необходимо и достаточно, чтобы сходились мнимые и действительные части.

Если ряд сходится, то ряды и также сходятся.

При этом ряды и являются функциональными рядами, члены которых представляют собой функцию двух действительных переменных, сходимость которых исследуется в рамках теоремы о функции рядов, состоящих из действительных функций.