Теоретико-множественное истолкование деления с остатком

n(AB)=a-b=n×((U…)(U…U)=n()×(k-m)=c×(k-m)

a-b=c×(k-m)

k-m=(a-b):с

a:c-b:c=(a-b):c

Теоретико-множественное истолкование отношения «меньше в» («больше в »).

a:b=c, если a>b в c раз (b<a в c раз ), то a:b=c

a=n(A), b=n(B), a<b в c раз

Т. к. a<b => во мн-ве В можно выделить собственное подмн-во мн-ва А. Т. к. . a<b в c раз, то мн-во В можно разбить на с подмн-в попарнонепересекающихся, каждое из кот-ых равномощны мн-ву А.

Замечание: из аксиоматики известно, что если число a<b в c раз, то чтобы найти число а, нужно a:b, поэтому при решении задач, в кот-ых используется отношение «меньше в» выбирается действие деления.

Пример: У Маши 6 яблок, а у Кати – в 2 раза меньше. Сколько яблок у Кати?

А — мн-во яблок у Маши; В – мн-во яблок у Кати. n(A)=6

Т. к. у Кати меньше чем у Маши, то во мн-ве А можно выделить собственное подмн-во →В. А поскольку у Кати яблок в 2 раза меньше, чем у маши, то мн-во А можно разбить на 2 непересекающихся равномощных мн-ва В => поэтому задача реш-ся с помощью действия деления, т. к.

требуется узнать число элементов в каждом подмн-ве разбиения.

Теоретико-множественное истолкование деления с остатком.

Неполным частным g и остатком r при делении с остатком числа а на число и назыв. такие целые неотриц. числа, что оказыв. выполнено рав-во: a=bg
+r, где 0≤r<b

a, b, g єN, r єNU{0} a=bg+r 0≤r<b

g, r єN a=bg+r r<b

A

|―| ― |― |― |-| RcA иR→ R′

B′ R R′ c B

B′′ B′ → B

B′′ = B′1U B′2 U… U B′g

Если число а:b с остатком r и неполным частным g. Это означает, что мн-во А можно представить в виде объединения 2-х непересекающихся мн-в B′′ и R, таких, что мн-во B′′ можно разбить на g попарнонепересекающихся мн-ва из которых →В. И во мн-ве В можно выделить собственное подмн-во →R.

Пр-р: разделить 13 на 5 с остатком.

13:5=2 (ост 3)

13=5*2+3

13 = n (A), 5=n(B)

неполное частное g=2, это означает, что во мн-ве А можно выделить 2 непересекающихся равночисленных подмн-ва равномощные мн-вам В и R. Мн-во R → некоторое подмн-во мн-ва В

12 Натур-ое число как рез-т измер-ия велич-ны.

Нату-ые числа испол-ся не только при пересечете элем-ов м-ва, но и при измер-нии велечины: длин отрезков, площадей фигур. масс тел. Стоим-ти тоара и др.. т. е. для сравнения их с некот-ой единицей (меры, килог-ма и т. д) и выражение резул-та числом. Если измеряемую величину м. разделить на неско-ко частей = единицы величины, то резул-т измерения выраж-ся натур-ым числом. Однако чаще всего единица величины не уклад-ся целое число раз в измеряемой величине. Поэтому для выраж-ния резул-та измер-ния расширяется запас чисел, вводя числа отличные от натур-ого, след-но, измерение величин служит основой для расширения понятия числа.

Замеч-ие: в дальнейшим все понятия расс-м на примере одной величины – длины отрезка.

Опре-ние1. Будем говорить, что отр-к а разбит на отрез-ки (составлен из отрезков) а1, а2, …, аn, если его можно представить в виде объ-ния этих отрез-ов, причем ни какие 2 из этих отре-ов не имеют оющей вну-ей точки (хотя м. иметь общие концы). При этом а1 + а2+…+ аn называют суммой отре-ов а1, а2,…, аn. Сумма = а.

Выберем некот-ый отр-ок е, кот-ый назовем единичным отр-ом, или единицей длины.

Опре-ие2. Если отр-ок а м. разбить на n отр-ов каждое из к-ых = единичному отр-ку е, то говорят, что число n яв-ся мерой отрезка а при единичном отр=ке е. Обоз-ют n=mea

Замеч-ие:

·  при переходе от одной еди-цы длины к друг-ой, мера отрез-ка меня-ся, хотя сам отрез-ок не меняе-ся

·  отре-ок а = отре=ку в, тогда и только тогда, когда мера длины =

а=в ó mea = mea

I.  a=b след-но mea=meb

т. к отр-к а=и, то каждый из них можно разбить на n отр-ов, каждый из которых = е, т. е

а=nе след-но mea = meb

в=nе

II.  mea=meb след-но a=b

mea = meb сле-но a=ne=b след-но отр-ки а=в

каждый можно разбить на n отре-ов а1, а2, …, аn

каждое из кот-ых = е след-но а=а1+а2+…+аn

b=a1+a2+…+an

след-но из опред-ия 1 а=в

·  нату-ое число, получаемое при измерен-ии можно расс-ть и как порядковое и как колич-ое. По своей сути выступает в новом качес-ве

Вывод: натур-ое число как мера отр-ка а показ-ет из скольки выбран-ых отре-ов состоит отр-ок а при выбран-ой единице длины е для отр-ка. а – это число единичное.

Ариф-кие опера-ии над числами как мерами отре-ов.

·  слож-ие, умнож-ие, вычи-ие, отнош-ие порядка на Z совпа-ет с одноименной операцией и отноше-ем над теми же числами на м-ве Q

·  на м-ве Q всегда выпол-ся опер-ия деления, кроме деления на 0

·  м-во Q линейное, в кот-ом выпол-ся треб-ия 1-3 элементами Q наз-ся рациональные числа.

Чтобы док-ть сущес-ие этого м-ва нужно построить м-во, явл-щееся интерпретацией данного опред-ния. Рас-м м-во

Z*(Z {0}={<a, b> | a, b εZ, b≠0})=Q

Введем на м-ве Q бинарное отно-ние p <a, b>p <c, d> óad=bc

Докажием, что отнош-ие p отнош-ие эквивалентно:

1.  рефлек-ть

V(<a, b> εQ) <a, b>p<a, b> (ab=ba)

2.  симметричность

V <a, b>, <c, d>εQ

<a, b>p<c, d> => <c, d>p<a, b> (cb=da)

<a, b>p<c, d>=> ad=bc => cb=da, a, b,c, d εZ

3.  транзитивность

V <a, b>,<c, d>,<m, n>εQ

<a, b>p<c, d> <c, d>p<m, n>=> <a, b>p<m, n> (an=bm)

<a, b>p<c, d> => ad=bc

<c, d> p<m, n> => cn=dm

(ad) (cn)=(bc) (dm)

(an) (dc)=(bm) (dc) an=bm

Вывод: p- отнош-ие эквивалентности на Q <a, b> ~<c, d> óad=bc

Отно-ие эквив-ти порождает на Q разбиение на классы эквивал-ти.

Каждый класс будем называть рациональным числом.

L=[<a, b>] a, b εZ, b≠0

L←<a, b>

<a, b>→L

Обозначим м-во классов эквивал-ти {[<a, b>]}=Q

Покажем, что Q явл-ся интерпрета-ей опред-ия м-ва Q

Замечание: т. к. класс эквивал-ти вполне опред-ся любым своим представителем, то все эквивален-ые пары опред-ся одно и тоже рацион-ое число, а не эквивал-ые пары опред-ся различ-ые рацион-ые пары.

Два рацион-ых числа равны óкогда пары их определяющие эквивалентны.

Опре-ие: сумма 2х рацион-ых чисел L←<a, b>, B←<c, d> назыв-ся число L+B←<ad+bc, bd>, при этом пару <ad+bc, bd> называют сумма = <ab>+ <cd>

Т1Сумма рацион-ых чисел сущест-ет и един-на

Д-во: сущест-ние

L← <a, b> L+B←<ad+bc, bd>, bd≠0

B←<c, d>

Т. к. сумма рацион-ых чисел сводится к нахождению суммы и произведению целых чисел, то сущест-ние суммы рацио-ых чисел следует из сущест-ия произ-ия и суммы целых чисел =>сущест-ие доказано.

Единственность.

ПустьL←<a, b>~<a1,b1> b, bc≠0

B←<c, d>~<c1,d1> d, d1≠ 0

=> <a, b>+<c, d>~<a1,b1>~+<c1,d1>

(<ad+bc, bd>~<a1d1+b1c1,b1d1> (ad+bc)*b1d1=bd (a1d1+b1c1))

<a, b>~<a1,b1>=> ab1=ba1 (*dd1)

<c, d>~ <c1,d1> => cd1=dc1 (*bb1)

(ab1)*(dd1)=(ba1)*(dd1)

(cd)*(bb1)=(dc1)*(bb1)

(ad)(b1d1)=(bd)(a1d1)

(bc)(b1d1)=(bd)(b1c1)

(ad)(b1d1)+ (bc)(b1d1)=(bd)(a1d1) + (bd)(b1c1)

(ad+bc)*b1d1=bd (a1d1+b1c1)

В силу того, что сумма рацио-ых чисел не зависит от выбора пар их порождающих. Делаем вывод, что суммма рацио-ых чисел един-на.

Т2Сложение рацио-ых чисел коммунитативна и ассоциативна.

Т3(Œ0εỖ) (VLεỖ)L+0=L

Т4(VLεỖ) (Œ-LεỖ)L+(-L)=0

Опре-ие: разностью L, B ε Q назыв-ся рацио-ое число γ=L-B

L=B+γ= B+(L-B)

Т5Разность рацио-ых чисел сущест-ет и един-на

Сущест-ие

L-B=L+(-B)

B+(L-B)=B+(L=(-B))=B+(-B+L=(L+(-B))+L=0+L=L

L+(-B)=L-B

Един-сть вытекает из един-ти суммы рацио-ых чисел

Опре-ие: произ-ие L←<a, b>, b≠0

B←<c, d>, d≠0 назы-ются LB←<ac, bd>, при этом <ac, bd> =<a, b><c, d>

Т6Произ-ие рацион-ых чисел сущест-ет и един-но

Док-во: Сущест-ие. Т. к. умнож-ие рацио-ых чисел сводится к нахождению произ-ия целых чисел, кот-ое по док-ому сущест-ет, то существует и произ-ние рацио-ых чисел.

Един-сть.

L←<a, b>~<a1,b1> b, b1,d, d1 ≠0

B←<c, d>~<c1,d1>

=><a, b><c, d>~<a1,b1><c1,d1>

<ac, bd>~<a1c1,b1d1> ó (ac)(b1d1)= (bd)(a1c1)

<a, b>~<a1,b1> => ab1=ba1

<c, d>~<c1,d1>=> cd1=dc1

(ab1)(cd1)=(ba1)(dc1)

(ac)(b1d1)=(bd)(a1c1) => <ac, bd>~<a1c1, b 1d1> => <a, b><c, d>~<a1,b1><c1, d1>

Свой-ва умножения.

·  Умно-ие рацио-ых чисел коммунитативно, асоциа-но, дистриб-но, т. е. для любых L, B, γεQ

-L*B=B*L

-L(Bγ)=(LB)γ

-(L+B)γ=Lγ+Bγ

·  На м-ве рацио-ых чисел существует единица такая, что для

(Œ1ε Ỗ) (VLεỖ) L*1=L

·  На м-ве рацио-ых чисел для любого элемента

(VLεỖ, L≠0) (ŒL –1 ε Ỗ) L*L-1 =1

Опре-ие: частным рацио-ого числа L и рацио-ого числа B отличного от 0, назыв-ся рацио-ое число L такое, что L=Bγ

Т 7Частное рацио-ых чисел сущест-ет кроме деления на 0 и единст-но

Док-во:сущест-иею Покажем, что L:B=L*B-1

B(L:B)= B(L*B-1) = L(B*B-1) = L*1=L

По опре-ию L*B-1 = L:B =>сущест-ие частного

Един-ть часного следует из един-ти произ-ия рацион-ых чисел.

13. Система счисления — СС. Запись целых неотриц-х чисел в позиционных СС. Алгоритм ариф-х действий над целыми неотриц-ыми числами в ДСС.

· Язык для наименования записи чисел и выполнения действий над ними наз-ют системой счисления.

· В позиционных СС один и тот же знак м. обозначать различные числа взависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Нап-р:Наша10-ричная и Вавилонская 60-ричная СС.

· В непозиц-х СС каждый знак всегда обозначает одно и то же число независимо от места, занимаемого этим знаком в записи числа. Нап-р: Римская СС.

Для записи чисел в 10-рич. СС использ-ся 10 цифр:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.Нап-р:287=200+80+7=2•102+8•10+7

· Десятичной записью хЄN в виде: х=аn•10n+аn -1•10n -1+…+а1•10+а0=, аn≠0; а i=0,1,…,9(пробег знач от 0 до 9); i=0,n наз-ся десятичным представлением или раздожением Nчисла х.

Теор 1. Любое N число х можно представить в виде х= аn•10n+аn -1•10n -1+…+а1•10+а0,где приним знач 0,1…9и такая запимсь единственна.

Сущ. Пусть хЄN. Среди последоват-ти чисел 1,10,102, …, 10n,… м. найти наибольшую степень, содержащуюся в х. Это м. сделать всегда! Поэтому 10n х<10n+1

Док-во основано на теореме о делении с остатком. Делим х на 10n с остатком. Обозначим неполное частное аn, а остаток хn. Тогда согласно Т. о делении с остатком м. записать:

х= аn•10n+ хn, хn<10n, аn<10

Затем поделим хn на 10n -1 . Обозначим неполное частное аn-1, а остаток хn-1.

хn= аn-1•10n-1+ хn-1 , хn-1<10n-1 , аn-1<10 Поделим хn-1 на 10n -2 и т. д.

Этот процесс конечен, когда на последнем шаге будет: х2= а1•10+ а0 , а0=х1

Подставляя все полученные разложения получим х= аn•10n+аn -1•10n -1+…+а1•10+а0 , где коэффец-ты аn≠0 и измен-ся от 0 до 9.

Ед. Докажем ед-ть n , к-ая следует из нерав-в: 10 nх<10n+1

В силу ед-ти n коэф-т аn единственным образом опред-ся нерав-ом: аn10 nх<(аn+1)•10n

Коэф-т аn-1 опред-ся след-щим треб-ем: аn-110 n-1+ аn10 nх< аn10 n+(аn-1+1)•10n-1

Остальные коэф-ты опред-ся аналог-но. В силу того, что коэф-ты аn и а0 опред-ся ед-ным образом, разложение числа х ед-но.

Десятич запись числапозвол просто решать вопрос о том, какое из них

Теор 2. Пусть х, уЄN запис кот дана в десятич СС: х=аn•10n+аn-1•10n-1+…+а1•10+ а0 ; у=вm•10m+вm-1•10m-1+…+в1•10+ в0 ; аi=0,1,…,9, i=0,n , аn≠0 ; вj=0,1,…,9, j=0,m , вm≠0. Тогда х<у, если выполнено одно из условий: 1) n<m; 2) n=m, но аn< вn;3) n=m, если аn= вm, аn-1= вm-1, …, аk= вk, но аk-1<вk-1.

Док-во, что х<у: 1) n<m, то 10 nх<10n+1 , 10 mу<10m+1

Если n<m, n+1m, 10n+110 m, то х<10n+110 m у то х<у

2) n=m, но аn< вn то аn+1вnи поэтому (аn+1)•10nвn•10n

Согласно разложен-я выпол-ся нер-во: аn•10n х <(аn+1)•10n ; вn •10n у <(вn+1)•10n

Далее сравниваем, подставляя х<(аn+1)•10n вn •10n у то х<у

3) n=m, если аn= вm, аn-1= вm-1, …, аk= вk, аk-1<вk-1.

аk-1<вk-1, аk-1+1 вk-1то (аk-1+1)•10 k-1 вk-1•10 k-1

аn•10n+…+ аk•10k+ аk-1•10k-1х< аn•10n+…+ аk•10k+ (аk-1+1)•10k-1

вm•10m+…+ вk•10k+ вk-1•10k-1 у< вm•10m+…+ вk•10k+ (вk-1+1)•10k-1

аn•10n+…+ аk•10k+ вk-1•10k-1 у< аn•10n+…+ аk•10k+(вk-1+1)•10k-1

аn•10n+…+ аk•10k+(аk-1+1)•10k-1 аn•10n+…+ аk•10k+ вk-1•10k-1

х< аn•10n+…+ аk•10k+(аk-1+1)•10k-1 аn•10n+…+ аk•10k+ вk-1•10k-1 у то х<у