Теоретические вопросы по тфкп

Комплексные числа и действия над ними. Комплесная плоскость, стереографическая проекция, бесконечно удаленная точка. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел. Основные элементарные функции комплексного переменного. Понятие о многозначной функции, комплексный ( большой ) логарифм, общая степенная, показательная функции. Приращение, предел и непрерывность функции комплексного переменного. Определение регулярной ( аналитической ) функции комплексного переменного, условия Коши – Римана. Производная комплексной функции, ее свойства. Гармоничность вещественной и мнимой частей регулярной функции.

Теорема единственности регулярной функции. Восстановлений регулярной функции по ее действительной или мнимой части.

Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформные отображения. Примеры. Криволинейный интеграл в комплексной плоскости, выражение через вещественные интегралы. Свойства криволинейных интегралов. Независимость криволинейного интеграла от аналитической функции от пути интегрирования, формула Ньютона – Лейбница. Теорема Коши для односвязной и многосвязной области. Интегральная формула Коши для регулярной функции и ее производных. Бесконечная дифференцируемость регулярной функции. Сходимость ( расходимость ) комплексного степенного ряда. Признаки Даламбера, Коши. Комплексный степенной ряд, теорема Абеля. Ряд Тейлора регулярной функции, интегральное и дифференциальное выражение его коэффициентов. Радиус сходимости ряда Тейлора. Ряд Лорана для регулярной в кольце функции. Теорема единственности, формулы для коэффициентов ряда. Нуль регулярной функции и его кратность. Теорема о равенстве двух аналитических функций, совпадающих на множестве, имеющем хотя бы одну предельную точку. Изолированные особые точки комплексной функции и их классификация по структуре ряда Лорана или по пределу функции. Примеры. Бесконечно удаленная изолированная особая точка. Классификация особенности в бесконечно удаленной точке с помощью ряда Лорана или предела функции. Вычет функции для конечной изолированной особой точки. Вычисление вычета функции в устранимой особой точке, простом и кратном полюсе. Вычисление вычета с помощью коэффициента ряда Лорана. Вычет функции в бесконечно удаленной особой точке. Первая ( основная ) теорема о вычетах. Вторая теорема о полной сумме вычетов. Вычисление несобственных интегралов , где , , а также интегралов , где— дробно-рациональная функция, с помощью теории вычетов. Лемма Жордана. Вычисление интегралов вида Логарифмический вычет. Логарифмический вычет в полюсе и нуле функции. Теорема о логарифмическом вычете. Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема алгебры и ее следствие. Подсчет числа нулей многочлена в заданной области с помощью принципа аргумента. Нахождение оригиналов функций и обратного преобразования Фурье с помощью теории вычетов.

-2-

Непрерывность, интегрирование и дифференцирование по параметру интегралов, зависящих от параметра. Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра. Критерий Коши и признак Вейерштрасса. Примеры. Примеры несобственных интегралов, зависящих от параметра, которые вычисляются с помощью интегрирования или дифференцирования по параметру. Гамма-функция и ее свойства : формулы приведения, дополнения. Продолжение гамма-функции на отрицательную полуось. Бета-функция, ее свойства и связь с гамма-функцией. Применение гамма и бета-функций к вычислению определенных интегралов. Примеры.