Теоремы о рациональных корнях полиномов над полем рациональных чисел
|
|
|
… |
a1 |
a0 |
|
c |
an |
+c |
+c |
a1+cb1 |
r=a0+cb0 |
|
bn-1 |
bn-2=an-1+cbn-1 |
bn-3=an-2+cbn-2 |
b0 |
9. Теоремы о рациональных корнях полиномов над полем рациональных чисел.
Свойство: Если (коэффициенты – рациональные числа), тогда
целое число, что
.
Свойство: с – корень с – корень
,
.
Теорема (первая теорема о рациональных корнях): Если полином f(x)=an xn+an-1 xn-1+…+a1 x+a0 ,
, и
— несократимая дробь, которая является корнем
, то
Доказательство: — корень, причем (k, l)=1, подставим в полином
и получим
, (l, k) = 1
, (l, k) = 1
Теорема (вторая теорема о рациональных корнях): Если и несократимая дробь
является корнем
,
, тогда
Если для корня
не выполняется (**), то дробь не является корнем.
5. Неприводимые полиномы. Примеры, свойства. Единственность разложения на неприводимые множители.
K=F, F – поле, К – кольцо.
Определение: Полином (deg f(x)
) называется неприводимым над полем F, если его нельзя представить в виде произведения необратимых элементов кольца
. Если степень полинома (deg f(x)
) и его можно представить в виде произведения необратимых элементов, то он называется приводимым.
Замечание: Т. к. необратимые элементы кольца , это полином степени (deg f(x)
), то определение можно сформулировать так:
неприводим, если его нельзя представить в виде произведения полинома в степени (deg f(x)
). Следовательно, полином первой степени всегда не произведение.
Примеры: 1.
2.)
),
, т. к.
,
неприводим над
.