Теоремы о рациональных корнях полиномов над полем рациональных чисел

9. Теоремы о рациональных корнях полиномов над полем рациональных чисел.

Свойство: Если (коэффициенты – рациональные числа), тогда целое число, что .

Свойство: с – корень с – корень , .

Теорема (первая теорема о рациональных корнях): Если полином f(x)=an xn+an-1 xn-1+…+a1 x+a0 , , и — несократимая дробь, которая является корнем , то

Доказательство: — корень, причем (k, l)=1, подставим в полином и получим

, (l, k) = 1

, (l, k) = 1

Теорема (вторая теорема о рациональных корнях): Если и несократимая дробь является корнем , , тогда Если для корня не выполняется (**), то дробь не является корнем.

5.  Неприводимые полиномы. Примеры, свойства. Единственность разложения на неприводимые множители.

K=F, F – поле, К – кольцо.

Определение: Полином (deg f(x)) называется неприводимым над полем F, если его нельзя представить в виде произведения необратимых элементов кольца . Если степень полинома (deg f(x)) и его можно представить в виде произведения необратимых элементов, то он называется приводимым.

Замечание: Т. к. необратимые элементы кольца , это полином степени (deg f(x)), то определение можно сформулировать так: неприводим, если его нельзя представить в виде произведения полинома в степени (deg f(x)). Следовательно, полином первой степени всегда не произведение.

Примеры: 1.

2.)), , т. к. , неприводим над .