Теоремы о признаках делимости

Пусть некоторое ц. н.ч. х=аn10n+аn-110n-1+…+а110+а0 0≤аi<9, i=0,…,n а≠0 дел-ся на нат. число m тогда и только тогда, когда дел-ся на m число вида (аnrn+аn-1rn-1+…+а1r+а0): m, где rn – остаток от дел-ия числа 10n на m.

x:m=> аnrn+аn-1rn-1+…+а1r+а0: m

Разделим кажд. степень числа 10 на m с остатком, в рез-е получим

х= аn(m*qn+rn)+аn-1(m*qn-1+rn-1)+…+а1(m*q1+r)+а0

qi – неполное частное, ri – остатки, 0≤ri<n, 1≤m<n

используя дистрибут. з-н слож-я и умн-я

(аn(m*qn)+аn-1(m*qn-1)+…+а1(m*q1))+( аn rn+ аn-1 rn-1+…+ а1 r + а0)

Кажд. слаг-ое в 1ой скобке содержит в кач-ве множителя число m => кажд. слаг-ое в 1ой скобке дел-ся на m => вся сумма записанная в 1ой скобке дел-ся на m. По свойству 6 число : m, если 1 из слаг-х : m то и само число :m => аnrn+аn-1rn-1+…+а1r+а0: m

Повторив рассуждение в обратную сторону мы док-ем след. утверждение, что если сумма вида

аnrn+аn-1rn-1+…+а1r+а0: m => дел-ся на m, то и само число дел-ся на m.

Теорема 1 (признак делимости на 2) Для того чтобы число х делилось на 2 необходимо и достаточно чтобы его десятичная запись оканчивалась одно из цифр 0, 2, 4, 6, 8

Теорема 2(признак делимости на 5) Для того чтобы х делилось на 5 необходимо и достаточно чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5

Теорема 3 (признак делимости на 4) Для того чтобы число х делилось на 4 необходимо и достаточно чтобы на 4 делилось двузначное число образованное последними двумя цыфрами десятичной записи числа х.

Н-р, 157872: 4, т. к. 72:4

Теорема 4 (признак делимости на 25) Число х делится на 25 в том и только в том случае, когда его десятичная запись оканчивается на 00, 25, 50, 75

Теорема 5 (признак делимости на 3) число х дел-ся на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр его десятичной записи дел-ся на 3.

Теорема 6 (признак делимости на 9) число х дел-ся на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр данного числа дел-ся на 9.

17. Мн-во действит-х чисел, его св-ва и геом-ая интерпретация.

! Мн-во длин отрезков при заданном единичном отрезке наз. мн-вом положит-х действит-х чисел (R+). Это мн-во д. удовле. аксиомам:

1. Q+ э R+;

2. Операц.(+)и(*)во R+ д. совпадать с аналогичными операц. для рац. чисел Q+;

3. R+ д. б. выполнено извлечение корня n-степени из Q+ч;

4. R+ д. б. минимальным мн-вом, удовл. усл. 1-3.

Теор. Результат измерения любого отрезка м. б. выражен бесконеч. дес. дробью.

¨  Пусть выбран единич. отр.е , а – произвольный отр. Тогда либо а<е, либо а >е.

Если а >е, то такое n эN, что nе < а <( n+1)е

·  В этом случае число n (или 0, если а <е)наз. целой частью длины отр.а.

Если а = nе, то длина отр.а выраж-ся n эN.

Если а >nе, то а м. представить как а = nе+ а1 , а1 >е. Тогда сущ-ет число n1, принимающее одно из значений 0-9 такое, что (n1/10) е < а1 <(n1+1 /10)е

nе+(n1/10)е<nе+а1<nе+(n1+1/10)е(n+n1/10)е<а<(n+(n1+1/10))е(n,n1)е<а<(n,n1+ 1/10)е

Продолжая процесс измерения далее будем получать числа n2n3… nk…,принимающие одно из знач. 0-9 такие, что любое k

(n, n1n2… nk)е < а <(n, n1n2… nk+(1/10)n)е

В этом случае рез-т измерения отрезка м. б. выражен бесконеч. дес. дробью n, n1n2… nk…Причём, если в этой дроби отбросить все цифры, начиная с некоторой, то получ. число меньшее длины отр.а; если к последней цифре полученного числа +1 , то получ. число большее длины отр. а mе а= n, n1n2… nk…

n, n1n2… nk…< mе а < n, n1n2… nk +1/10k , любое k эN.

Замечание: при измерении отр. никогда не получ. бесконеч. дес. дробь с 9 в периоде, т. к. не сущ. такого числа х, к-ое бы удовл. след. нерав-вам:

% 0,4(9) 0,49< х <0,50 если же эти 0,49< х <0,50

0,499< х <0,500 …. нерав-ва запис-ть 0,499< х <0,500 ….

0,499…9< х <0,500…0 в виде 0,499…9< х <0,500…0

то всем этим нерав-вам одновременно удовл. число 0,5. Значит 0,4(9) и 0,5 – это записи одного и того же числа: 0,49=(49-4)/90=45/90=0,5

Теор. Мн-во бесконеч. дес. дробей отличных от дроби 0,00…0 и незаканчив-ся бесконечной послед-тью 9, явл. мн-вом положит-х действ. чисел R+ (следует из опред. R+ и Теоремы)

·  Пусть n, n1n2… nk…= х э R. Число хk= n, n1n2… nk… наз. десятичным приближением числа х по недостатку ,

·  а хk’= n, n1n2… nk + 1/10k наз. числом по избытку с точностью 1/10k

Очевидно, что хk< х< хk’

% х=2, 31785204 2,3< х<2,4 2,3+1=2,4 – до дес.

2,31< х< 2,32 — до сот. 2,317< х< 2,318 – до тыс. и т. д.

Отнош-е порядка в R+

·  Пусть х, уэ R+ , х = n, n1n2… nk…, у = m1m2 …mk …

Говорят, что число х<у, если выпол-ся одно из условий: 1. n< m

2. n=m, n1<m1 3. n=m, n1=m1 n2=m2… nk-1=mk-1 nk< mk

Предложение 1. (х<у)(сущ. S эN)( хS’<уS)

¨  х<у n=m, n1= m1… nk-1=mk-1 nk< mk

S= k+1 хS’= хk+1’= n, n1n2… nk+1 + 1/10k+1 уS= уk+1’= m, m 1m2 …mkmk+1

если nk+1+1<9nk< mk хS’<уS ; если nk+1+1=10 nk’< mk хS’<уS обратно

избыт. хS’<уS nS’<mS х<у

Св-ва отнош-й меньше во мн-ве R+:

10 Отнош. меньше во R+ явл. отнош-ем строгого линейного порядка

20 Во мн-ве R+ нет наибольшего элемента

30 Во мн-ве R+ нет наименьшего элемента

40 R+ платно, т.е. м/д люб. двумя числами из R+ сущ. бесконечно много др. чисел из R+.

Этими св-вами обладает и мн-во Q+. Св-во, к-ым не обладает Q+:

50 мн-во R+ непрерывно

·  Числовым мн-вом наз. любое подмн-во мн-ва R+

·  Говорят, что мн-во Х располаг-ся слева от мн-ва У, если (люб. х э Х) (люб. у эУ)(х<у) % [2;7], [10;20] ,{1,2,3,10},{15,17}

·  Пусть мн-во Х располаг. слева от мн-ва У. Число наз. разделяющим мн-ва Х и У, если (люб. х э Х) (люб. у эУ)(х<с<у).

Предложение 2. Если число с явл. разделяющим для мн-в Х и У , то мн-во Х располаг. слева от мн-ва У.

·  М наз. непрерывным, если для любых его подмн-в Х и У,к-ое располаг-ся слева от другого, сущ-ет хотя бы одно разделяющее число.

Если числовое мн-во Х располаг-ся слева от числового мн-ва У, то сущ-ет хотя бы одно число, разделяющее эти мн-ва.