Учебные материалы по математике | Теорема жордана | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online
Главная ● Учебные материалы по математике ● Теорема жордана

Теорема жордана

Глубоким фактом является

Теорема Жордана. Всякая жорданова замкнутая кривая разбивает оставшуюся часть плоскости на две непересекающиеся области: внутреннюю, которая обозначается – ограниченную и внешнюю, которая обозначается – неограниченную.

 Доказательство этой теоремы сложно и здесь не приводится.

 Для дальнейшего полезно следующее определение.

 Область на плоскости называется односвязной, если для любой замкнутой жордановой кривой, лежащей в , ее внутренность тоже принадлежит .

 Геометрически понятие односвязности означает, что область "не имеет дыр". Если в области одна дыра, то она называется двусвязной и т. д.

 Жордановы замкнутые кривые еще называют жордановыми контурами.

Путь называется гладким, если функция — непрерывно дифференцируема и при каждом . Путь называется кусочно-гладким, если отрезок можно так разбить на конечное число отрезков, что сужение на каждый из этих отрезков даёт гладкий путь. Кривая называется гладкой (кусочно-гладкой), если у неё есть гладкий (кусочно-гладкий) представляющий путь.

 Из курса анализа известно, что кусочно-гладкая кривая является спрямляемой, т. е. имеет конечную длину, вычисляемую с помощью интеграла по формуле

или в комплексной форме

.  (4.2)

Через мы будем обозначать длину кривой, которая по определению равна точной верхней грани длин вписанных в данную кривую ломаных.

5. ИНТЕГРАЛ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ПО КРИВОЙ.

Пусть $ Gamma$— кусочно-гладкая кривая и $ z(t)(t in [a,b])$представляющий ее кусочно гладкий путь. Предположим, что на множестве точек кривой $ Gamma$определена непрерывная функция $ f(z)(z in Gamma).$Интегралом от функции $ f(z)$по кривой $ Gamma$называют величину

$displaystyle intlimits_{Gamma} {f(z)dz = intlimits_{a}^{b} {f(z(t)){z}'(t)dt} } .$

(5.1)

(Иногда вместо "интеграл по кусочно-гладкой кривой $ Gamma$" говорят "интеграл по контуру $ Gamma$" )

В силу непрерывности сложной функции $ f(z(t))$и кусочной гладкости $ z(t)$функция $ f(z(t)){z}'(t)$будет кусочно непрерывной и, следовательно, интеграл от нее определен.

Заметим еще, что этот интеграл не зависит от выбора кусочно гладкого пути, представляющего $ Gamma$. Действительно, если кусочно гладкий путь $эквивалентен пути $ z(t)$и функция $ tau (t)$осуществляет эту эквивалентность: $ z{}_{1}(tau ) = z(t(tau ))$, то под интегралом справа в (5.1) можно сделать замену переменного $ t = t(tau )$. Тогда, используя правило замены переменного и формулу производной сложной функции, получаем

begin{displaymath} begin{array}{l} intlimits_{a}^{b} {f(z(t)){z}'(t)dt = i... ...{f(z{}_{1}(tau )){z}'_{1} (tau )dt} } \ \ end{array}end{displaymath}

Таким образом, определение (5.1) корректно.

Из свойств определенного интеграла непосредственно вытекают свойства интеграла (5.1).

1. Интеграл суммы двух функций по кривой $ Gamma$равен сумму их интегралов по этой кривой.

2. Постоянный (комплексный) множитель выносится за знак интеграла.

3. Если на кривой поменять направление на противоположное. Вместо пути $ z(t)$взять путь $ z(a + b - s)(s in [a,b]),$то интеграл меняет знак.

4. Если кривая разбита на две части $ Gamma_{1}$и $ Gamma_{2}$, то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям

$displaystyle intlimits_{Gamma} {f(z)dz = intlimits_{Gamma_{1}} {f(z)dz + } } intlimits_{Gamma_{2}} {f(z)dz} , $

Если кривая $ Gamma$замкнута, то интеграл по ней записывается в виде

$displaystyle ointlimits_{Gamma} {f(z)dz}. $

Примеры вычисления интегралов.

1. $ f(z) = 1$, тогда

$displaystyle intlimits_{Gamma} {dz = intlimits_{a}^{b} {{z}'(t)dt = int... ...b} {[{x}'(t) + i{y}'(t)]dt = } } } [x(b) - x(a)] + i[y(b) - y(a)] = z(b) - z(a)$

(5.2)

Если кривая замкнута, то $ z(b)=z(a)$и

$displaystyle ointlimits_{Gamma} {dz = 0} .$

2. $ f(z) = z$.

$displaystyle intlimits_{Gamma} {zdz = intlimits_{a}^{b} {z(t){z}'(t)dt = ... ...{b} {(z^{2}(t){)}'dt = } } } {textstyle{{1} over {2}}}[z(b)^{2} - z(a)^{2}]. $

Мы воспользовались тем, что

$displaystyle (z(t)z(t))'=z'(t) z(t) +z(t) z'(t) =2z(t) z'(t) .$

Для замкнутой кривой

$displaystyle ointlimits_{Gamma} {zdz} = 0.$

(5.3)

3. Пусть $ Gamma$— окружность с центром в точке $ a$и радиуса $ r$с выбранным на ней направлением против часовой стрелки. В качестве пути, представляющего данную кривую можно выбрать отображение отрезка $ [0,2pi ]$в $ Bbb C$вида

$displaystyle z(t) = a + r({rm cos ,}t + i{rm sin ,}t). $

.

Действительно, $и, следовательно, точка $ z(t)$пробегает окружность в заданном направлении.

Пусть теперь $ f(z) = (z - a)^{n}$. Тогда с помощью формулы Муавра получаем

$displaystyle ointlimits_{Gamma } {(z - a)^{n}dz} = intlimits_{0}^{2pi } ... ...os ,}t + i{rm sin ,}t)} right]} ^{n}r( - {rm sin ,}t + i{rm cos ,}t)dt $

$displaystyle = ir^{n + 1}intlimits_{0}^{2pi } {({rm cos ,}t + i{rm sin ... ...1}intlimits_{0}^{2pi } {({rm cos ,}(n + 1)t + i{rm sin ,}(n + 1)t)dt} } $

$displaystyle = ir^{n + 1}frac{{1}}{{n + 1}}left. {({rm sin ,}(n + 1)t - i{rm cos ,}(n + 1)t)} rightvert _{0}^{2pi } $

Если $ n + 1 ne 0$, то в силу периодичности cos и sin, справа получается нуль. Если же $ n+1=0$, то нужно остановиться на предпоследнем равенстве, из которого видно, что стоящая в нем величина равна $ 2pi i$.

Таким образом,

$displaystyle ointlimits_{{Gamma}} {(z - a)^{n}dz} = 0 $

при $ nneq -1$, и

$displaystyle ointlimits_{{Gamma}} {(z - a)^{ - 1}dz} = 2pi i$

(5.4)

Эти интегралы играют важную роль в дальнейшем.

Оценка интеграла. Из определения (5.1) и неравенства (4.1) из параграфа 4 получаем

$displaystyle leftvert {intlimits_{{Gamma}} {f(z)dz} } rightvert = left... ...ghtvert le intlimits_{a}^{b} {leftvert {f(z(t)){z}'(t)} rightvert} dt. $

Из свойств определенного интеграла и формулы (4.2) вытекает, что

$displaystyle leftvert {intlimits_{{Gamma}} {f(z)dz} } rightvert = math... ...rm max}limits_{z in Gamma } leftvert {f(z)} rightvertvertGamma vert}$

(5.5)

Аппроксимация интеграла интегральной суммой. Пусть $ Gamma$кривая с кусочно-гладким определяющим путем $ z(t)$, где ( $ a le t le b$). Разобьем отрезок [a, b] на части точками $ a=t_{0}<t_{1}<cdots<t_{n}=b$. Точки $ z_{k}=z(t_{k})quad (k=0,1,2,cdots,n)$тогда разбивают кривую на части, которые обозначаем через $ gamma _{k} $.

Составим интегральную сумму

$displaystyle sumlimits_{k = 1}^{n} {f(z_{k} )(z_{k} - z_{k - 1} )} .$

(5.6)

Мы хотим сравнить эту сумму с интегралом $ f(z)$по кривой $ Gamma$.

Для этого преобразуем (5.6) в силу (5.2)

$displaystyle sumlimits_{k = 1}^{n} {f(z_{k} )(z_{k} - z_{k - 1} )} = sumli... ...{dz} } = sumlimits_{k - 1}^{n} {intlimits_{gamma _{k} } {f(z_{k} )dz} } . $

С другой стороны, по свойствам интеграла

$displaystyle intlimits_{Gamma } {f(z)dz} = sumlimits_{k - 1}^{n} {intlimits_{gamma _{k} } {f(z_{} )dz} } . $

Поэтому

$displaystyle vertintlimits_{Gamma } {f(z)dz} - sumlimits_{k = 1}^{n} {f(... ... 1}^{n} {intlimits_{gamma _{k} } {(f(z) - f(z_{k} ))dz} } } rightvert le $

$displaystyle le sumlimits_{k = 1}^{n} {mathop {{rm max}}limits_{z in gamma _{k} } leftvert {f(z) - f(z_{k} )} rightvertvertgamma _{k} vert} . $

В силу равномерной непрерывности функции $ f(z)$для любого $ varepsilon >0$при достаточно мелком разбиении кривой $ Gamma$на части имеем

$displaystyle mathop {{rm max}}limits_{z in gamma _{k} } leftvert {f(z) - f(z_{k} )} rightvert < frac{{varepsilon }}{{vertGamma vert}}. $

Тогда

$displaystyle vertintlimits_{Gamma } {f(z)dz} - sumlimits_{k = 1}^{n} {f(... ...Gamma vert}}sumlimits_{k - 1}^{n} {vertgamma _{k} vert = varepsilon }. $

Таким образом, интеграл от функции $ f(z)$по кривой $ Gamma$может быть с любой точностью аппроксимирован интегральной суммой.

Аппроксимация интеграла по кривой интегралом по ломаной. Предположим теперь, что функция $ f(z)$определена и непрерывна не только на кривой $ Gamma$, но и в некоторой области $ G$, содержащей кривую $ Gamma$. Разобьем кривую $ Gamma $на конечное число частей $точками $ z_{0},z_{1},cdots,z_{n}$. Выберем разбиение столь мелким, чтобы все круги $ leftvert {z - z_{k} } rightvert < vertgamma _{k} vert$лежали в $ G$и чтобы в этих кругах выполнялись неравенства

$displaystyle leftvert {f(z) - f(z_{k} )} rightvert le frac{{varepsilon }}{{2vertGamma vert}},$

(5.7)

где $ varepsilon >0$заданное число.

Обозначим через $ Gamma_{n}$ломаную с вершинами в точках $ z_{0},z_{1},cdots,z_{n}$(в порядке следования), а через $ gamma _{k}^{prime }$её звенья, соединяющие точки $ z_{k-1 }$и $ z_{k}$. Сравним интегралы от функции $ f(z)$по кривой $ Gamma$и по ломаной $ Gamma$$ _{n}$. Имеем

$displaystyle intlimits_{Gamma } {f(z)dz} - intlimits_{Gamma _{n} } {f(z)... ...mits_{gamma _{k} } {f(z)dz} - intlimits_{gamma _{k} ^{prime }} {f(z)dz} } $

$displaystyle = sumlimits_{k = 1}^{n} {intlimits_{gamma _{k} } {left[ {f(... ...tlimits_{gamma _{k} ^{prime }} {left[ {f(z) - f(z_{k} )} right]^{}dz} } . $

Здесь мы воспользовались тем, что

$displaystyle intlimits_{gamma _{k} } {fleft( {z_{k} } right)dz = fleft({... ... - 1} } right) = intlimits_{{gamma }'_{k} }{fleft( {z_{k}} right)dz} } } $

Из предыдущего получаем

$displaystyle leftvert {intlimits_{{Gamma}} {fleft( {z} right)dz - int... ...ft( {z} right) - fleft( {z_{k} } right)} rightvertvertgamma _{k} vert} $

кривая $ gamma _{k} $и отрезок $ {gamma }'_{k} $лежат в круге, где выполнено неравенство (5.7) и, кроме того $, поэтому

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020