Учебные материалы по математике | Теорема жордана | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Теорема жордана


Глубоким фактом является

Теорема Жордана. Всякая жорданова замкнутая кривая разбивает оставшуюся часть плоскости на две непересекающиеся области: внутреннюю, которая обозначается – ограниченную и внешнюю, которая обозначается – неограниченную.

 Доказательство этой теоремы сложно и здесь не приводится.

 Для дальнейшего полезно следующее определение.

 Область на плоскости называется односвязной, если для любой замкнутой жордановой кривой, лежащей в , ее внутренность тоже принадлежит .

 Геометрически понятие односвязности означает, что область "не имеет дыр". Если в области одна дыра, то она называется двусвязной и т. д.

 Жордановы замкнутые кривые еще называют жордановыми контурами.

Путь называется гладким, если функция — непрерывно дифференцируема и при каждом . Путь называется кусочно-гладким, если отрезок можно так разбить на конечное число отрезков, что сужение на каждый из этих отрезков даёт гладкий путь. Кривая называется гладкой (кусочно-гладкой), если у неё есть гладкий (кусочно-гладкий) представляющий путь.

 Из курса анализа известно, что кусочно-гладкая кривая является спрямляемой, т. е. имеет конечную длину, вычисляемую с помощью интеграла по формуле

или в комплексной форме

.  (4.2)

Через мы будем обозначать длину кривой, которая по определению равна точной верхней грани длин вписанных в данную кривую ломаных.

5. ИНТЕГРАЛ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ПО КРИВОЙ.

Пусть $ Gamma$— кусочно-гладкая кривая и $ z(t)(t in
[a,b])$представляющий ее кусочно гладкий путь. Предположим, что на множестве точек кривой $ Gamma$определена непрерывная функция $ f(z)(z in Gamma).$Интегралом от функции $ f(z)$по кривой $ Gamma$называют величину

$displaystyle intlimits_{Gamma} {f(z)dz = intlimits_{a}^{b} {f(z(t)){z}'(t)dt} } .$

(5.1)

(Иногда вместо "интеграл по кусочно-гладкой кривой $ Gamma$" говорят "интеграл по контуру $ Gamma$" )

В силу непрерывности сложной функции $ f(z(t))$и кусочной гладкости $ z(t)$функция $ f(z(t)){z}'(t)$будет кусочно непрерывной и, следовательно, интеграл от нее определен.

Заметим еще, что этот интеграл не зависит от выбора кусочно гладкого пути, представляющего $ Gamma$. Действительно, если кусочно гладкий путь $эквивалентен пути $ z(t)$и функция $ tau (t)$осуществляет эту эквивалентность: $ z{}_{1}(tau ) =
z(t(tau ))$, то под интегралом справа в (5.1) можно сделать замену переменного $ t = t(tau )$. Тогда, используя правило замены переменного и формулу производной сложной функции, получаем

begin{displaymath}
begin{array}{l}
intlimits_{a}^{b} {f(z(t)){z}'(t)dt =
i...
...{f(z{}_{1}(tau )){z}'_{1} (tau
)dt} } \
\
end{array}end{displaymath}

Таким образом, определение (5.1) корректно.

Из свойств определенного интеграла непосредственно вытекают свойства интеграла (5.1).

1. Интеграл суммы двух функций по кривой $ Gamma$равен сумму их интегралов по этой кривой.

2. Постоянный (комплексный) множитель выносится за знак интеграла.

3. Если на кривой поменять направление на противоположное. Вместо пути $ z(t)$взять путь $ z(a + b - s)(s in [a,b]),$то интеграл меняет знак.

4. Если кривая разбита на две части $ Gamma_{1}$и $ Gamma_{2}$, то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям

$displaystyle intlimits_{Gamma} {f(z)dz = intlimits_{Gamma_{1}} {f(z)dz + } }
intlimits_{Gamma_{2}} {f(z)dz} ,
$

Если кривая $ Gamma$замкнута, то интеграл по ней записывается в виде

$displaystyle ointlimits_{Gamma} {f(z)dz}. $

Примеры вычисления интегралов.

1. $ f(z) = 1$, тогда

$displaystyle intlimits_{Gamma} {dz = intlimits_{a}^{b} {{z}'(t)dt = int...
...b} {[{x}'(t) + i{y}'(t)]dt = } } } [x(b) - x(a)] + i[y(b) - y(a)] = z(b) - z(a)$

(5.2)

Если кривая замкнута, то $ z(b)=z(a)$и

$displaystyle ointlimits_{Gamma} {dz = 0} .$

2. $ f(z) = z$.

$displaystyle intlimits_{Gamma} {zdz = intlimits_{a}^{b} {z(t){z}'(t)dt =
...
...{b} {(z^{2}(t){)}'dt = } } }
{textstyle{{1}
over {2}}}[z(b)^{2} - z(a)^{2}].
$

Мы воспользовались тем, что

$displaystyle (z(t)z(t))'=z'(t) z(t) +z(t) z'(t) =2z(t) z'(t) .$

Для замкнутой кривой

$displaystyle ointlimits_{Gamma} {zdz} = 0.$

(5.3)

3. Пусть $ Gamma$— окружность с центром в точке $ a$и радиуса $ r$с выбранным на ней направлением против часовой стрелки. В качестве пути, представляющего данную кривую можно выбрать отображение отрезка $ [0,2pi ]$в $ Bbb C$вида

$displaystyle z(t) = a + r({rm cos ,}t + i{rm sin ,}t).
$

.

Действительно, $и, следовательно, точка $ z(t)$пробегает окружность в заданном направлении.

Пусть теперь $ f(z) = (z - a)^{n}$. Тогда с помощью формулы Муавра получаем

$displaystyle ointlimits_{Gamma } {(z - a)^{n}dz} = intlimits_{0}^{2pi }
...
...os ,}t + i{rm sin ,}t)} right]} ^{n}r( - {rm sin ,}t + i{rm cos ,}t)dt
$

$displaystyle = ir^{n + 1}intlimits_{0}^{2pi }
{({rm cos ,}t + i{rm sin ...
...1}intlimits_{0}^{2pi }
{({rm cos ,}(n + 1)t + i{rm sin ,}(n + 1)t)dt} }
$

$displaystyle = ir^{n + 1}frac{{1}}{{n + 1}}left. {({rm sin ,}(n + 1)t - i{rm cos ,}(n +
1)t)}
rightvert _{0}^{2pi }
$

Если $ n + 1 ne 0$, то в силу периодичности cos и sin, справа получается нуль. Если же $ n+1=0$, то нужно остановиться на предпоследнем равенстве, из которого видно, что стоящая в нем величина равна $ 2pi i$.

Таким образом,

$displaystyle ointlimits_{{Gamma}} {(z - a)^{n}dz} = 0
$

при $ nneq -1$, и

$displaystyle ointlimits_{{Gamma}} {(z - a)^{ - 1}dz} = 2pi i$

(5.4)

Эти интегралы играют важную роль в дальнейшем.

Оценка интеграла. Из определения (5.1) и неравенства (4.1) из параграфа 4 получаем

$displaystyle leftvert {intlimits_{{Gamma}} {f(z)dz} } rightvert = left...
...ghtvert le intlimits_{a}^{b} {leftvert
{f(z(t)){z}'(t)} rightvert} dt.
$

Из свойств определенного интеграла и формулы (4.2) вытекает, что

$displaystyle leftvert {intlimits_{{Gamma}} {f(z)dz} } rightvert = math...
...rm max}limits_{z in Gamma } leftvert {f(z)} rightvertvertGamma vert}$

(5.5)

Аппроксимация интеграла интегральной суммой. Пусть $ Gamma$кривая с кусочно-гладким определяющим путем $ z(t)$, где ( $ a le t le b$). Разобьем отрезок [a, b] на части точками $ a=t_{0}<t_{1}<cdots<t_{n}=b$. Точки $ z_{k}=z(t_{k})quad (k=0,1,2,cdots,n)$тогда разбивают кривую на части, которые обозначаем через $ gamma _{k} $.

Составим интегральную сумму

$displaystyle sumlimits_{k = 1}^{n} {f(z_{k} )(z_{k} - z_{k - 1} )} .$

(5.6)

Мы хотим сравнить эту сумму с интегралом $ f(z)$по кривой $ Gamma$.

Для этого преобразуем (5.6) в силу (5.2)

$displaystyle sumlimits_{k = 1}^{n} {f(z_{k} )(z_{k} - z_{k - 1} )} =
sumli...
...{dz}
} =
sumlimits_{k - 1}^{n} {intlimits_{gamma _{k} } {f(z_{k} )dz}
} .
$

С другой стороны, по свойствам интеграла

$displaystyle intlimits_{Gamma } {f(z)dz} = sumlimits_{k - 1}^{n}
{intlimits_{gamma _{k} } {f(z_{} )dz} } .
$

Поэтому

$displaystyle vertintlimits_{Gamma } {f(z)dz} - sumlimits_{k = 1}^{n}
{f(...
... 1}^{n}
{intlimits_{gamma _{k} } {(f(z) - f(z_{k} ))dz} } } rightvert le
$

$displaystyle le sumlimits_{k = 1}^{n} {mathop {{rm max}}limits_{z in gamma
_{k} }
leftvert {f(z) - f(z_{k} )} rightvertvertgamma _{k} vert} .
$

В силу равномерной непрерывности функции $ f(z)$для любого $ varepsilon >0$при достаточно мелком разбиении кривой $ Gamma$на части имеем

$displaystyle mathop {{rm max}}limits_{z in gamma _{k} } leftvert {f(z) - f(z_{k}
)} rightvert
< frac{{varepsilon }}{{vertGamma vert}}.
$

Тогда

$displaystyle vertintlimits_{Gamma } {f(z)dz} - sumlimits_{k = 1}^{n}
{f(...
...Gamma
vert}}sumlimits_{k - 1}^{n} {vertgamma _{k} vert = varepsilon }.
$

Таким образом, интеграл от функции $ f(z)$по кривой $ Gamma$может быть с любой точностью аппроксимирован интегральной суммой.

Аппроксимация интеграла по кривой интегралом по ломаной. Предположим теперь, что функция $ f(z)$определена и непрерывна не только на кривой $ Gamma$, но и в некоторой области $ G$, содержащей кривую $ Gamma$. Разобьем кривую $ Gamma $на конечное число частей $точками $ z_{0},z_{1},cdots,z_{n}$. Выберем разбиение столь мелким, чтобы все круги $ leftvert {z - z_{k} } rightvert < vertgamma _{k} vert$лежали в $ G$и чтобы в этих кругах выполнялись неравенства

$displaystyle leftvert {f(z) - f(z_{k} )} rightvert le frac{{varepsilon }}{{2vertGamma vert}},$

(5.7)

где $ varepsilon >0$заданное число.

Обозначим через $ Gamma_{n}$ломаную с вершинами в точках $ z_{0},z_{1},cdots,z_{n}$(в порядке следования), а через $ gamma
_{k}^{prime }$её звенья, соединяющие точки $ z_{k-1 }$и $ z_{k}$. Сравним интегралы от функции $ f(z)$по кривой $ Gamma$и по ломаной $ Gamma$$ _{n}$. Имеем

$displaystyle intlimits_{Gamma } {f(z)dz} - intlimits_{Gamma _{n} }
{f(z)...
...mits_{gamma _{k} } {f(z)dz} -
intlimits_{gamma _{k} ^{prime }} {f(z)dz} }
$

$displaystyle = sumlimits_{k = 1}^{n} {intlimits_{gamma _{k} } {left[
{f(...
...tlimits_{gamma _{k} ^{prime }} {left[ {f(z) - f(z_{k} )}
right]^{}dz} }
.
$

Здесь мы воспользовались тем, что

$displaystyle intlimits_{gamma _{k} } {fleft( {z_{k} } right)dz
= fleft({...
... - 1} } right)
= intlimits_{{gamma }'_{k} }{fleft( {z_{k}} right)dz} } }
$

Из предыдущего получаем

$displaystyle leftvert {intlimits_{{Gamma}} {fleft( {z} right)dz -
int...
...ft( {z} right) -
fleft(
{z_{k} } right)} rightvertvertgamma _{k} vert}
$

кривая $ gamma _{k} $и отрезок $ {gamma }'_{k} $лежат в круге, где выполнено неравенство (5.7) и, кроме того $, поэтому

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод