Теорема пифагора

2)  = . Эта норма называется l¥-нормой.

Вид единичной сферы в R2 :

Евклидова l1-норма l¥-норма

норма.

Ортогональность

Заметим, что евклидовы пространства это частный случай линейных пространств.

Теорема 5

Доказательство:

y= a1a1+a2a2+…+anan

(x, y)=(x, a1a1+a2a2+…+anan) = (x, a1a1)+(x, a2a2) +…+(x, anan)=

= a1(x, a1)+a2(x, a2)+…+ an(x, an)=0

=0 =0

Следовательно

Теорема 6 Теорема Пифагора

Доказательство:

2=(x+y, x+y)=(x,x) + (y,y) + 2(x,y)= 2+2

=2 =2 =0

Теорема 7

Доказательство:

Рассмотрим произвольную ортогональную систему ненулевых элементов e1, e2, … , en. Предположим, что для некоторых коэффициентов a1, a2, …, an линейная комбинация равна нулю a1 e1+ a2 e2 +…+an en=0

Умножим это равенство скалярно на какой-либо элемент ei из этой системы

(a1 e1+ a2 e2 +…+an en, ei )=(0, ei) = 0

a1 (e1, ei) + a2 (e2 , ei) +…+ ai (ei , ei )+ …+an (en, ei ) = 0

=0 =0 ¹0 =0

Þ Все слагаемые равны нулю Þ ai=0

Так как i может быть любым, то получим, что все коэффициенты линейной комбинации равны нулю, то есть система линейно независима.

Ортонормированный базис евклидова пространства.

Как и произвольные линейные пространства, евклидовы пространства бывают конечно — и бесконечномерные. Как и в других пространствах, в евклидовых пространствах можно вводить базисы.

В каждом ли евклидовом пространстве существует ортонормированный базис? Да, в каждом.

Как его получить из произвольного базиса? Ответ на этот вопрос даёт процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

( f1, f2, …, fn ) – некоторый базис в n-мерном евклидовом пространстве.

g1 =f1 e1=

g2=f2-(f2, e1) e1 e2=

g3=f3-(f3, e1) e1-(f3,e2) e2 e3=

…

gn=fn-(fn, e1) e1-…-(fn, en-1) en-1 en=