Теорема пифагора
2) =
. Эта норма называется l¥-нормой.
Вид единичной сферы в R2 :
Евклидова l1-норма l¥-норма
норма.
Ортогональность
Заметим, что евклидовы пространства это частный случай линейных пространств.
Элемент x ортогонален подпространству H, если он ортогонален каждому элементу подпространства H. То есть скалярное произведение x на элемент " из H равно 0 |
Теорема 5
Если x ортогонален базису (a1, a2, …, an) в H , то он ортогонален любому элементу y из H. |
Доказательство:
y= a1a1+a2a2+…+anan
(x, y)=(x, a1a1+a2a2+…+anan) = (x, a1a1)+(x, a2a2) +…+(x, anan)=
= a1(x, a1)+a2(x, a2)+…+ an(x, an)=0
=0 =0
Следовательно
Теорема 6 Теорема Пифагора
В евклидовом пространстве с евклидовой нормой x и y ортогональны Û |
Доказательство:
2=(x+y, x+y)=(x,x) + (y,y) + 2(x,y)=
2+
2
=
2 =
2 =0
О |
Система элементов евклидова пространства называется ортогональной, если любые два вектора этой системы ортогональны. |
Теорема 7
Любая ортогональная система ненулевых элементов линейно независима. |
Доказательство:
Рассмотрим произвольную ортогональную систему ненулевых элементов e1, e2, … , en. Предположим, что для некоторых коэффициентов a1, a2, …, an линейная комбинация равна нулю a1 e1+ a2 e2 +…+an en=0
Умножим это равенство скалярно на какой-либо элемент ei из этой системы
(a1 e1+ a2 e2 +…+an en, ei )=(0, ei) = 0
a1 (e1, ei) + a2 (e2 , ei) +…+ ai (ei , ei )+ …+an (en, ei ) = 0
=0 =0 ¹0 =0
Þ Все слагаемые равны нулю Þ ai=0
Так как i может быть любым, то получим, что все коэффициенты линейной комбинации равны нулю, то есть система линейно независима.
Ортонормированный базис евклидова пространства.
Как и произвольные линейные пространства, евклидовы пространства бывают конечно — и бесконечномерные. Как и в других пространствах, в евклидовых пространствах можно вводить базисы.
О |
Если базис представляет собой ортогональную систему элементов, то он называется ортогональным. |
О |
Ортогональный базис называется ортонормированным, если любой его элемент имеет норму равную единице. |
В каждом ли евклидовом пространстве существует ортонормированный базис? Да, в каждом.
Как его получить из произвольного базиса? Ответ на этот вопрос даёт процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
( f1, f2, …, fn ) – некоторый базис в n-мерном евклидовом пространстве.
g1 =f1 e1=
g2=f2-(f2, e1) e1 e2=
g3=f3-(f3, e1) e1-(f3,e2) e2 e3=
…
gn=fn-(fn, e1) e1-…-(fn, en-1) en-1 en=