Учебные материалы по математике | Теорема о составом контуре | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online
Главная ● Учебные материалы по математике ● Теорема о составом контуре

Теорема о составом контуре

Когда $ n$увеличивается, граница $ Delta ^{left( {n}right)}$стягивается к точке $ z_{0} $и поэтому $, что противоречит последнему неравенству. Итак, предположение (5.9) привело нас к противоречию, и, следовательно, интеграл по границе любого треугольника, лежащего в $ G$, равен нулю.

2. Рассмотрим теперь интеграл по границе любого многоугольника, лежащего в $ G$. Этот многоугольник можно разбить на несколько треугольников. Тогда интеграл по границе многоугольника будет равняться сумме интегралов по границам треугольников (интегралы по внутренним разрезам взаимно уничтожаются) и, так как интегралы по границам треугольников равны 0, то и интеграл по границе многоугольника равен нулю.

Пусть теперь $ Gamma$— замкнутая кусочно-гладкая жорданова кривая, лежащая в $ G$. Как показано в параграфе 3 интеграл по этой кривой можно с любой точностью приблизить интегралом по ломанной. Эта ломанная будет границей многоугольника, который в силу односвязности области $ G$будет лежать в $ G$и, следовательно, интеграл по его границе будет равен нулю. Число, которое можно с любой точностью приблизить нулем, само равно нулю.

Теорема Коши-Гурса доказана.

Теорема о составом контуре.Рассмотрим подробнее двухсвязную область $ G$, ограниченную двумя кусочно — гладкими жордановыми кривыми (область с дырой) и функцию $ f(z)$голоморфную в $ G$. Если контур $ Gamma$не содержит внутри себя дыру, то в силу теоремы Коши-Гурса интеграл по нему равен нулю. Поэтому интересно исследовать интегралы по контурам, содержащим дыру внутри.

Пусть $ {Gamma}_{1} $и $ {Gamma}_{2} $два таких контура, причем $ {Gamma}_{1} $лежит внутри $ {Gamma}_{2} $. Направления на контурах $ {Gamma}_{1} $и $ {Gamma}_{2} $выбраны так, что при движении по этим направлениям дыра остается слева. Криволинейное кольцо ограниченное кривыми $ {Gamma}_{1} $и $ {Gamma}_{2} $разобьем на два полукольца с помощью двух разрезов $ gamma _{1} $и $ gamma _{2} $(см. рисунок). Направление на разрезе выберем так, чтобы начало лежало на $ {Gamma}_{2} $, а конец на $ {Gamma}_{1} $. Эти точки делят кривые $ {Gamma}_{1} $и $ {Gamma}_{2}$на части $и $ {{Gamma}}'_{2} ,quad{{Gamma}}''_{2}$. Составим теперь два замкнутых контура $и $ {{Gamma}}''_{2}+ gamma _{2}- {{Gamma}}''_{1} - gamma _{1}$, где знак «-» означает, что на кривой направление изменено на противоположное. Эти контуры не содержат внутри себя дыру и поэтому интегралы по ним в силу теоремы Коши-Гурса равны нулю. Пользуясь свойствами интеграла, каждый из указанных интегралов можно представить как сумму интегралов по четырем частям.

Тогда

$displaystyle ointlimits_{{{Gamma}}'_{2}+ gamma _{1}- {{Gamma}}'_{1}-gamm... ...s_{{{Gamma}}'_{1} } {f(z)dz - intlimits_{gamma _{2} } {f(z)dz = 0} } } } } $

$displaystyle ointlimits_{{{Gamma}}''_{2}+gamma _{2}-{{Gamma}}''_{1}-gamm... ...{{{Gamma}}''_{1} } {f(z)dz - intlimits_{gamma _{1} } {f(z)dz} } } } } = 0. $

При сложении этих равенств интегралы по $ gamma _{1} $и $ gamma _{2} $взаимно уничтожаются, а интегралы по $ {Gamma}_j ^{prime }$и $ {{Gamma}}''_j $в сумме дают интеграл по $ {Gamma}_j$.

Таким образом,

$displaystyle intlimits_{{Gamma}_{2} } {fleft( {z} right)dz} - intlimits... ...} {fleft( {z} right)dz} = intlimits_{{Gamma}_{1} } {fleft( {z} right)dz}$

(5.12)

и, следовательно, интеграл не изменяется при переходе от одного контура к другому.

Пример. Пусть точка $ a$внутри контура $ Gamma$, тогда

$displaystyle ointlimits_{{Gamma}} {frac{{dz}}{{z - a}} = 2pi i } , $

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020