Теорема о собственном базисе

Доказательство (методом математической индукции):

n=1. Так как собственный вектор e1¹0, то он линейно независимый по определению.

Пусть при n=k утверждение теоремы верно, то есть e1, e2,…,ek — линейно независимы. Добавим вектор ek+1 , соответствующий lk+1. Предположим, что полученная система линейно зависима Þ

a1e1+…+ akek+ ak+1ek+1=0 (*)

К равенству применим оператор A Þa1 Ae1+…+ ak Aek+ ak+1 Aek+1=0

Так как все ei– собственные Þ

a1 l1e1+…+ ak lkek+ ak+1 lk+1ek+1=0 (**)

Умножим (*) на lk+1 и вычтем из (**) Þa1(l1-lk+1)e1+…+ ak (lk -lk+1)ek=0

Так как e1, e2,…,ek линейно независимы, то все коэффициенты при них в этом выражении равны нулю. А так как все li (i=1¸k+1) различны, то все ai=0 (i=1¸k), Þ (*)запишется в виде ak+1ek+1=0 Þ ak+1=0, то есть, (*) выполнено только при всех ai=0 (i=1¸k+1) Þ система e1, e2,…,ek , ek+1 линейно независима.

Теорема 15 Теорема о собственном базисе

Доказательство:

(Þ) Пусть A –матрица A в базисе b Þ для вектора Abj имеем

Abj= mj bj

Из вида этого равенства ясно, что bj – собственный вектор с собственным значением равным mj.

(Ü) Если "bj — собственный для A, то ему соответствует собственное значение lj

Abj=ljbj= Þ В этом базисе все элементы матрицы A, кроме

диагональных, равны 0, а диагональные равны lj Þ A — диагональная матрица.

Пример:

В R2 рассмотрим два оператора A и B в некотором базисе.

A=; B=

Характеристические уравнения у них совпадают

(l-2)2=0; l1=l2=2

A имеет уже диагональный вид её исходный базис состоит из собственных векторов A.

У B все собственные векторы соответствуют l=2, но собственное пространство одномерно, так как фундаментальная система: Ссостоит из одного вектора. Следовательно, для B не $ собственного базиса, нет двух линейно независимых собственных векторов.

Подобные матрицы можно рассматривать как матрицы одного и того же оператора в разных базисах.

Теорема 16 Критерий существования собственного базиса.

Доказательство:

Пусть характеристическое уравнение матрицы A имеет n различных действительных корней Þ соответствующий ей линейный оператор A имеет n различных собственных значений. Каждому собственному значению соответствует свой собственный вектор. Их n штук и они линейно независимы Þ эти векторы составляют базис. Это базис из собственных векторов Þ в этом базисе оператор A имеет диагональную матрицу.

Самосопряжённый линейный оператор.

Теорема 17 О единственности сопряжённого оператора.

Доказательство:

Докажем, что линейный оператор B с матрицей B=AT является сопряжённым к линейному оператору A с матрицей A. Рассмотрим (Ax, y)=(x, By) для "x и y. Ax имеет столбец координат Ax, а (Ax, y)=((Ax)T, y) из ортонормированности базиса. Аналогично (x, By)=(xT, By) Þ в координатной форме имеем

((Ax)T, y)=xT(By)

так как (Ax)T=xTA — свойства матричных операций,

то xTATy=xTBy

так как x и y — любые, то AT=B

В силу однозначности соответствия матрицы и оператора в фиксированном базисе, получаем, что для оператора A единственный сопряжённый ему линейный оператор B и его матрица B=AT

Другими словами: A – самосопряжён, если для " x и y выполнено (Ax, y)=(x, Ay)

Примеры самосопряжённых операторов:

1)  нулевой

2)  тождественный

3)  оператор расширения

4)  ортогональное проектирование трёхмерных векторов на направление данного вектора.

Теорема 18

Доказательство:

Пусть A – матрица оператора A, а A* — матрица оператора A*, согласно только что доказанной теореме A*=AT так как A=A* Û A=A*=AT, но если A=AT, то это значит, что A – симметрическая.

Теорема 19

Доказательство:

Допустим, что l — комплексное число, является корнем характеристического многочлена симметрической матрицы A, то есть det(A-lE)x=0 Þ (A-lE)x=0 имеет ненулевое решение x=(x1, x2,…, xn)T , состоящее из комплексных чисел. Рассмотрим

столбец x^, комплексно сопряжённый к столбцу x. Умножим равенство (A-lE)x=0 слева на строку x^ Þ x^T(A — lE)x=0 Þ x^TAx=x^ lEx Þ x^TAx=l x^Tx