Теорема о наложении решения

+ + + + (x) + (x) + = f (x)

= W (x) 0

= (x)

= (x)

Интегрированием найдем и

Затем по формуле (5.6) составим общее решение

Теорема (5.2) : о наложение решения

Если правая часть уравнения (5.1) представляет собой сумму 2-ух функций:

f(x) = f1 (x) + f2(x) ,

а и — частное решение уравнения

+ (x) y ‘ + (x) y = (x)

+ (x) y ‘ + (x) y = (x)

То функция

Является решение данного уравнения

( ) ‘’ + ) ‘ +) ‘= ‘’ + + + () ‘’ + ) ‘ + = f1 (x) + f2(x) = f(x)
Линейные дифференциальные уравнения n‑го порядка. Вронскиан. Фундаментальная система решений.

Линейное уравнение n-го порядка имеет следующий общий вид: y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x). (10.1)

Если в рассматриваемом интервале изменения x функция f (x) тождественно равна нулю, то уравнение (10.1) принимает вид: y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = 0. (10.2)

и называется однородным. Если f (x) ≠ 0, то уравнение (10.1) называется неоднородным. Ниже показано, что, как и в случае линейного уравнения первого порядка, интегрирование неоднородного линейного уравнения (10.1) приводится к интегрированию однородного уравнения.

Основное предположение

Будем предполагать, что функции p1, …, pn, f (x) непрерывны в интервале (a, b). Это предположение обеспечит существование и единственность решения задачи Коши с любыми y0, У`o, …,Yo(n-1) при любом x ∈ (a, b). В частности, единственным решением однородного уравнения (10.2) с нулевыми начальными условиями y0 (x0) = 0, У`o (x0) = 0, …, Yo(n-1) (x0) = 0 — будет только очевидное нулевое решение y = 0.

Дадим признак линейной независимости n частных решений (11.3) однородного линейного уравнения n-го порядка. С этой целью введем в рассмотрение определитель, составленный из данных частных решений и их производных до порядка n – 1 включительно:

Этот определитель называется определителем Вронского решений y1, y2, …, yn.

Уравнение, допускающее интегрирующий множитель.

Уравнение в полных дифференциалах

dU = 0

U = C

U (x ,y) = C

Может быть, что левая часть уравнения :

M (x, y) dx + N(x, y ) dy = 0 (2.8)

является полным дифференциалом некоторой функции U (x, y)

dU (x, y) = M (x, y) dx + N (x , y) dy =>уравнение (2.8) принимает вид dU (x , y) = 0

Если функция y(x) является решением уравнения (2.8) тогда dU (x, y(x)) 0 сл-но

U (x, y(x))= c (2.9)

C= const

И наоборот, если некоторая функция y(x) обращается в тождество конечное уравнение (2.9) , то дифференцируя это тождество получим:

dU (x, y (x)) = 0, значит U (x, y) = C является общим интегралом исходного уравнения.

Для того чтобы левая часть уравнения (2.8) является полным дифференциалом некоторой функции U (x , y) необходимо и достаточно условие Эйлера

(2.10)

dU(х, у)=

Если условие Эйлера выполняется, то уравнение (2.8) легко интегрировать

dU = Mdx + Ndy

dU=

При вычиcлении интеграла величина у рассматривается как const , поэтому c(y) является произвольной функцией y. Для определения функции C(y) дифференцируем найденную функцию U(x, y) по y и так как , получим : (

В некоторых случаях, когда левая часть уравнения (2.8) не является полным дифференциалом, легко удается подобрать функцию после умножения на которую левая часть уравнения (2,8) превращается в полный дифференциал, то есть dU = µ Mdx + µ Ndy и в этом уравнение эти функции удовлетворяют условию Эйлера.