Теорема о линейном выражении нод двух полиномов

Определение: Полином f(x) называется унитарным, если старший коэффициент аn=1.

Замечание: В дальнейшем в качестве НОД будем рассматривать только унитарный полином, если это возможно.

Свойство: 1. ,то .

2..

Алгоритм Евклида: К – поле. .

С каждым шагом степень остатка уменьшается, значит, на некотором шаге получим остаток равный нулю. . Последний неравный нулю остаток является НОД. .

Следствие: Если К – поле, то НОД всегда существует.

Теорема о линейном выражении НОД двух полиномов: Если , то

Определение: Полиномы называются взаимно простыми, если их НОД равен 1, либо любое ненулевое число.

Теорема (критерий взаимно простых полиномов): .

Определение: Общим кратным полиномов называется такой полином , что .

Определение: НОК полиномов называется такой полином , который является общим кратным, и любое общее кратное этих полиномов делится на .

Теорема (обозначение НОК[f(x), g(x)]): НОК двух полиномов равен произведению этих полиномов, деленное на НОД.

8. Полиномиальные отображения. Корни полинома. Деление полинома на линейный двучлен. Схема Горнера. Теорема Безу.

Теорема: можно поделить с остатком на х – с, с К. Деление с остатком: .

Теорема Безу: В условии теоремы (см. выше) остаток будет равен

Доказательство: 1

2

Определение: Элемент с К называется корнем полинома , если f(c)=0.

Схема Горнера: Дан полином f(x)=an xn+an-1 xn-1+…+a1 x+a0, поделим его на двучлен х – с и получим неполное частное s(x)=bn-1 xn-1+bn-2 xn-2+…+b1 x+b0. Тогда an xn+an-1 xn-1+…+a1 x+a0=(x—c)( bn-1 xn-1+bn-2 xn-2+…+b1 x+b0)+r. Будем искать коэффициенты неполного частного:

……………………………… ……………………….