Теорема о делении с остатком для целых чисел

Свойства делимости:

1) .

2) .

3) .

4) .

п. 2. Деление с остатком

Опр.2. Разделить целое число а на целое число b ≠ 0 с остатком — это значит найти два таких целых числа и , что и . Число называют неполным частным, а — остатком.

Возникают вопросы: 1) всегда ли возможно выполнить деление с остатком; 2) если можно, то каким количеством способов. Ответ даёт следующая теорема:

Теорема 1. Любое целое число можно разделить на любое целое число с остатком, притом единственным образом.

Доказательство: 1. Возможность деления с остатком. Для числа выполняется одно из двух условий — или . Рассмотрим оба этих случая.

а) Пусть . Расположим все целые числа, кратные числу , в порядке возрастания:

Среди чисел этого ряда рассмотрим все числа, не превосходящие числа , и наибольшее из них обозначим через . Тогда имеем: и , то есть

Обозначив , получим , . Осталось заметить, что в данном случае , то есть .