Теорема меньшова

Из определения голоморфной функции видно, что голоморфность в области эквивалентно тому, что всюду в области функция имеет производную. Это следует из того, что всякая точка в области входит туда вместе с некоторой своей окрестностью, и поэтому, если функция всюду в имеет производную, то она будет иметь производную в некоторой окрестности каждой точки области, то есть будет голоморфна.

Раз голоморфная в области функция всюду имеет производную, то она всюду в этой области непрерывна и всюду выполняются условия Коши-Римана:

при .

Оказывается, что верно и обратное утверждение в следующем смысле.

Теорема (Меньшова). Если в некоторой области функция непрерывна, всюду в области существуют частные производные

и всюду в области они удовлетворяют условию Коши-Римана

то функция дифференцируема, то есть голоморфна в данной области.

(Доказательство этой теоремы не может быть приведено в этом курсе ввиду его сложности и объема.)

Этой теоремой можно пользоваться для практической проверки голоморфности функций, если их частные производные легко найти.

Проверим, в частности, голоморфность или, что то же дифференцируемость функции всюду в и найдем ее производную. Заодно и продолжим список примеров дифференцируемых функций.

Пример 6. Функция всюду дифференцируема и .

Так как , то

то есть частные производные, очевидно, есть всюду в . Кроме этого можно видеть, что

Функция непрерывна как произведение непрерывных функций и , зависящих только от одной переменной каждая. Значит по теореме Меньшова голоморфна всюду в , и производная

в силу (3.6).

Пример 7. Проверим, что тригонометрические функции и дифференцируемы всюду в комплексной плоскости и, следовательно, всюду голоморфны.

В самом деле, по определению

Функции и всюду дифференцируемы, поскольку они являются суперпозицией (сложной функцией) двух дифференцируемых функций: и линейных функций и . Теперь очевидно, косинус дифференцируем, поскольку он оказывается полу суммой двух дифференцируемых функций. Аналогично синус оказывается тоже линейной комбинацией дифференцируемых функций.

Используя правила дифференцирования, описанные выше, получим

Таким образом, правило дифференцирования синуса сохранилось и для комплексных переменных.

То же самое справедливо и для комплексного косинуса. В самом деле

4. КОМПЛЕКСНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО. КРИВЫЕ НА КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ

Комплексные функции действительного переменного. Пусть каждой точке t отрезка [a, b] на действительной оси поставлено в соответствие число Z(t), если разложить число Z(t) на действительную и мнимую части Z(t)=х(t)+iy(t),то возникнут две действительные функции одного действительного переменного х(t) и y(t). Если эти функции непрерывны в точке [a, b] ,то и функция Z(t) непрерывна в том смысле, что при . Если функции х(t) и y(t) дифференцируемы, то функция Z(t) также дифференцируема в том смысле, что существует

.

Справедливы и обратные утверждения.

Все правила вычисления производных вытекают из свойств пределов, поэтому

; (с ― комплексное число); ; , если .

Здесь предполагалось, что —дифференцируемы.

Заметим еще, что для кусочно-непрерывной функции = х(t) + iy(t) определяется интеграл

=+i,

обладающий всеми свойствами обычного интеграла Римана.

Можно проверить, что комплексный постоянный множитель можно вносить под знак интеграла.

Вместо одного равенства интеграл можно эквивалентно определить двумя

=, =,

Иными словами, знаки Re и Im можно вносить под знак интеграла.

Рассмотрим теперь модуль интеграла. Обозначим

Пусть И пусть argI=. Тогда

I (cos— i sin)=(cos+ i sin)(cos— i sin)=.

Отсюда

(постоянный множитель внесли под знак интеграла).

Далее

.

 Действительная часть комплексного числа не превосходит его модуля, а определённый интеграл не меняет знака неравенства, поэтому

Таким образом

.  (4.1)

Отметим ещё, что справедлива формула Ньютона-Лейбница

или, окончательно

.

 Кривые на комплексной плоскости. Непрерывное отображение отрезка действительной оси в комплексную плоскость называется путём. Записывать это отображение можно так: или в комплексной форме Точка называется началом пути, точка — концом пути. Таким образом, путь определяется комплекснозначной функцией действительного переменного . Два пути и называются эквивалентными, если существует такое монотонно возрастающее отображение отрезка на отрезок , что , при этом и .

Совокупность всех взаимно эквивалентных путей называется кривой. Кривую мы обычно будем обозначать одной буквой, например, . Каждый путь из этого класса называется представляющим путём кривой . Для эквивалентных путей множества значений функций и совпадают, поэтому можно говорить о множестве точек кривой, которое будем обозначать через . Иногда его называют образом пути. Кроме того, на кривой определяется направление движения по образу пути по мере возрастания аргумента . Это направление не зависит от выбора представляющего пути кривой и будет отмечаться стрелочкой на рисунках.

 Кривая называется замкнутой, если её начало и конец совпадают. Понятие непрерывной кривой является слишком общим в том смысле, что оно не всегда соответствует нашему интуитивному понятию кривой. Так, например, построены кривые, множество точек которых совпадают с квадратом на плоскости (кривая Пеано). Более естественным объектом являются простые или жордановы кривые. Кривая называется простой или жордановой, если для её представителей (путей) отображение на полуинтервале взаимно однозначно. Такая кривая может быть замкнутой, если или незамкнутой, если . Геометрически, это означает, что кривая без самопересечений.