Теорема лиувилля

Преобразуем:

1/ ζ — z =1/[(ζ-a)-(z-a)] =1/(ζ-a)(1-z-a/ζ-a) =1+z-a/ζ — a + (z-a)^2 /(ζ — a)^2 +…+ (z-a)^n / (ζ — a)^n +…

Почленное интегрирование дает ряд Тейлора функции f(z) :

где

Из приведенных выше преобразований следует, что радиус сходимости ряда Тейлора равен расстоянию от до ближайшей особой точки, т. е. точки, в которой нарушается аналитичность функции .

Оценка коэффициентов ряда Тейлора. Пусть на окружности . Тогда

.

Доказательство. Действительно, применяя оценку интеграла, получим:

Теорема Лиувилля. Аналитическая и ограниченная на всей комплексной плоскости функция может быть только константной.

Доказательство. Пусть функция f(z) аналитична и |f(z)| ≤ M на всей комплексной плоскости. Пусть — ряд Тейлора функции f(z) с центром в нуле. Пользуясь оценкой (оценка) и устремляя ρ → +∞ , получаем равенство при любом n≥ 1. Следовательно, — константа.□

Как следствие этого результата получаем основную теорему алгебры комплексных чисел: любой многочлен, не равный константе, имеет хотя бы один комплексный корень.

Доказательство. Пусть P(z) — многочлен, не имеющий ни одного корня. Тогда функция f(z)=1 / P(z) аналитична на всей комплексной плоскости и ограничена в силу того, чтo lim_z→∞ 1/ P(z) =0 для любого многочлена P(z) степени ≥ 1. Следовательно, по теореме Лиувилля получаем, что функция f(z) — константа. Значит и многочлен P(z) константный. □

Определение. Точка — ноль кратности n функции f(z), аналитической в окрестности точки , если выполнено одно из следующих эквивалентных условий:

1) и (здесь — коэффициенты ряда Тейлора функции f(z) в точке a);

2) , но ;

3) , где g(z) аналитична в точке a, и g(a)≠ 0.

Из разложения функции f(z) в точке a в ряд Тейлора (1) и из формулы ( eq:tylor2 ) сразу следует эквивалентность приведенных выше условий. □

18  Теорема единственности и аналитическое продолжение

Теорема. Если значения аналитических в открытой связной области G функций и совпадают на некоторой бесконечной последовательности точек , сходящейся к точке , то эти функции тождественно равны во всей этой области.

Доказательство. Заметим сначала, что если аналитическая функция не равна тождественно нулю в окрестности точки , то найдется ненулевой коэффициент ряда Тейлора этой функции. Записывая такую функцию в виде , где g(a)≠ 0, видим, что в достаточно малой окрестности точки a функция других нулей, кроме a не имеет. Отсюда получаем, что разность тождественно равна 0 в некоторой окрестности точки . В свою очередь, это дает, что данная разность равна 0 в круге наибольшего радиуса с центром в точке a, вмещающегося в область G.

Далее, взяв произвольную точку и соединив точки и кусочно-гладкой непрерывной кривой, можно покрыть эту кривую конечной системой кругов, так что каждый последующий круг пересекает предыдущий во внутренней точке, и центр первого — точка , центр последнего — точка . Последовательно продвигаясь от первого до последнего круга, доказываем, что разность равна тождественно 0 в этих кругах, а значит и в точке . Отсюда следует, что функция тождественно совпадает с функцией . □

Предположим, что в некоторой области G задана функция . Если — аналитическая функция в области D, содержащей G, совпадающая с функцией на G, то она называется аналитическим продолжением функции . Из доказанной выше теоремы следует, что аналитическое продолжение единственно. Например, является аналитическим продолжением функции , заданной лишь при условии .

Пример. Функция аналитична в области ℂ* и не равна тождественно 0, хотя обращается в ноль в точках 1/πk и эта последовательность стремиться к 0 при k→+∞ . Это, конечно, не противоречит теореме, так как предельная точка — ноль, не принадлежит области аналитичности функции .

19  Ряд Лорана

Пусть функция аналитична в кольце . Обозначим через окружность радиуса ρ с центром в точке . Тогда в силу интегральной формулы Коши для любой точки z из кольца имеет место равенство: