Теорема кронекера-капелли

10. Т. Кронекера-Капелли. Базисн. решения.

Теорема Кронекера — Капелли — критерий совместности системы лин. алгебраических уравнений: Сист. линейных алгебраических уравнений совместна тогда, когда ранг её осн. матрицы = рангу её расширенной матр., причём сист. имеет ед-ное решение, если ранг = числу неизвестных, и бесконечное мн-во решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Базисным решением неопределённой системы линейных уравнений называют такое её решение, в котором все свободные неизвестные равны нулю.

11. Понятие вектора на плоскости и в 3мерном простр. Декартова прямоуг. сист. координат в 3мерном пр-ве. Осн. операции.

Вектором, как на плоскости, так и в пространстве, назыв направленный отрезок, то есть такой отрезок, один из концов кот-го выделен и назыв. началом, а другой — концом. При этом сонапр-ные и равные по длине отрез. счит. одним и тем же вектором.

Если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендик. друг другу, то сист. координат наз-ся прямоугольной (или ортогональной). Прямоугольная сист. координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу, назыв. декартовой системой координат.

Операции: 1.умножение на число: произведение вектора А на число l наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А||В. б) l>0, то А­­В, l<0, то А­¯В. в)l>1, то А<В, )l<1, то А>В.

2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а/n=a*(1/n).

3.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора.

4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а.

12. Скал. произв. векторов. Угол между векторами.

Скалярное произв 2х векторов а и в — число, равное произвед. длин этих векторов на cos угла между ними. а*в=|а|*|в|*cosj, j=p/2, cosp/2=0, a^b=>ab=0. Равенство “0” скалярного произв. необходимое и дост-чное условие их перпендикулярности.

Угол между векторами — угол между напр-ниями этих векторов (наименьший угол). Угол находится в промежутке [0°; 180°].

Если векторы перпендик., то угол = 90º. Если векторы сонаправлены, в частности один из них или оба нулевые, то угол = 0о. Если противопол. напр-ные, то угол = 180º.

13. Метод наименьших квадратов.

Мет. наим. кв. — один из базовых методов регрессионного анализа для оценки неиз-ных параметров регрессионных моделей по выборочным данным. Метод основан на минимиз. суммы кв-ов остатков регрессии.

Методом наим. кв. можно назвать метод решения задачи в любой области, если решение заключ. или удовл-ряет некот. критерию минимизации суммы квадратов некот. функций от искомых переменных. Метод заключается в минимизации евклидова расстояния между двумя векторами — вектором восстановленных значений зависимой переменной и вектором фактических значений зависимой переменной.

14. Бесконечно малые функции. Бесконечно большие функции.

Беск. малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. величина называется б. м.в. в каком-то процессе, если она в этом процессе бесконечно уменьщается.(r=m/V, если V®¥, то r®0) Свойства б. м.в.:

-сумма или разность конечного числа б. м.в. есть б. м.в. (a и b-б. м.в., то a±b=б. м.в.)

-произведение б. м.в. на величину ограниченную есть б. м.в.

-произведение б. м.величин=б. м.в.

-произведение б. м.в. на постоянную = б. м.в

Беск. б. (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака. б. б.в — величина для которой |Xn|®¥ (при xn=1/n, n®0, то xn®¥) Свойства:

-величина обратная б. б.в. явл. б. м.в. -сумма б. б.в. (с одинаковым знаком) есть б. б.в.

-произведение 2х б. м.величин=б. м.в.

-частное от деления 2х б. б.в = неопределенность

15. Прост-во Rn. Векторы в пространстве Rn.

Арифметическим вектором называется упорядоченная совокупность n чисел. Обозн. x = (x1, x2, …, xn); Числа x1, x2, …, xn назыв. компонентами арифм-го вектора.

Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число называется пространством векторов Rn.

Вектор θ = (0, 0, …, 0) называется нулевым вектором Rn, а вектор −x = (−x1, −x2, …, −xn) — противоположным вект. для вект. x в Rn.

Лин-ые операц. над n-мерными векторами имеют такие же свойства, как и лин. опер. над вект-ми на плоскости и в пространстве.

Операции: 1.умножение на число

2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n.

3.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора.

4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а.

16. Лин. комбинации вект. в пространстве Rn. Линейно незав. системы векторов. Ортогональные системы векторов. Базис и ранг системы векторов. Разложение вектора по базису.

Линейной комбинацией векторов называется вектор вида

где λ1, λ2, …, λk — любые действ-ные числа.

Любая система векторов представляет нулевой вектор тривиально. Система векторов векторного пространства, которая представляет нулевой вектор ТОЛЬКО тривиально называется линейно независимой.

Система ненулевых векторов называется ортогональной, если все векторы этой системы попарно ортогональны.

Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов системы

Базисом системы векторов называется максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов

Любой вектор системы можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса системы. (Всякий вектор системы можно разложить по векторам базиса.) Коэффициенты разложения определяются для данного вектора и данного базиса однозначно.

17. Прямоугольная система координат на плоскости. Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой.

Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует ее широкому применению.

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X`Xи Y`Y. Оси координат пересекаются в точке О, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление.

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка:

Общее уравнение прямой ax+by=c (a2+b2≠0)

18. Ур. прямой с данным угловым коэфф., проходящей через заданную точку. Ура. прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки. Ур. прямой в отрезках.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x1, y1) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k,: y — y1 = k(x — x1).

Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку A(x1, y1), которая называется центром пучка.

Ура. прямой на плоскости, проходящей через две точки имеет вид:

или:

Уравнение прямой линии, пересекающей ось ОХ в точке (а,0) и ось OY в точке (о, b)

В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.

19. Угол между прямыми на плоскости. Усл. парал. и перпендик. двух прямых.

Угол между пересекающимися прямыми на плоскости — градусная мера наименьшего из углов, образованных при пересечении этих прямых. Угол между совпадающими или паралл-ми прямыми считается = нулю.

Угол α между двумя прямыми, заданными уравнениями: y=k1x+b1 и y=k2x+b2, вычисл. по формуле tg(α)=(k2-k1)/(1+k1k2)

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэфф-ом, то необход. и достаточ. условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэф-тов: k1 = k2.

б) Когда прямые заданы уравнениями в общем виде, необход. и дост. условие их парал. состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны.

Условия перпендикул. двух прямых:

а) Когда прямые заданы ур-ми с угловым коэф-ом, необход. и дост. усл. их перпендик. заключ. в том, что их угловые коэф. обратны по величине и противоположны по знаку.

Расст. от точки до прямой опред-тся длиной перпен-ра, опущенного из точки на прямую.

Если прямая || плоскости проекции, то для опред расст. от точки А до прямой h необх. опустить перпенд. из точки А на h.