Теорема кронекера-капелли

16.Векторы. Основные понятия. Линейные операции над векторами.

Вектором называется направленный отрезок. Обозначения: a, , .

Через В А обозначают вектор, направленный противоположно вектору АВ. Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым.

Длиной или модулем вектора называется расстояние между его началом и концом. Записи |АВ| и |a| обозначают модули векторов АВ и a.
Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой, и компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине.

Линейные операции над векторами:

Суммой a + b векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b, если начало вектора b совпадает с концом вектора а.

Разностью а – b векторов а и b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор а.

Произведением ka вектора а на число k называется вектор b, коллинеарный вектору а, имеющий модуль, равный |k||a|, и направление, совпадающее с направлением а при k>0 и противоположное а при k<0.

5. Решение системы линейных ур-й. Теорема кронекера-капелли

Решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных , обращающий все уравнения системы в тождества. Матричное уравнение А*Х=В  при данных значениях неизвестных переменных также обращается в тождество А*Х=В.
Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной.Если система уравнений решений не имеет, то она называется несовместной.Если СЛАУ имеет единственное решение, то ее называют определенной; если решений больше одного, то – неопределенной.Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю , то система называется однородной, в противном случае – неоднородной. 

Если число уравнений системы равно числу неизвестных переменных и определитель основной ее основной матрицы не равен нулю, то такие СЛАУ будем называть элементарными. Такие системы уравнений имеют единственное решение, причем в случае однородной системы все неизвестные переменные равны нулю.

Такие СЛАУ мы начинали изучать в средней школе. При их решении мы брали какое-нибудь одно уравнение, выражали одну неизвестную переменную через другие и подставляли ее в оставшиеся уравнения, следом брали следующее уравнение, выражали следующую неизвестную переменную и подставляли в другие уравнения и так далее. Или пользовались методом сложения, то есть, складывали два или более уравнений, чтобы исключить некоторые неизвестные переменные. Не будем подробно останавливаться на этих методах, так как они по сути являются модификациями метода Гаусса.

Основными методами решения элементарных систем линейных уравнений являются метод Крамера, матричный метод и метод Гаусса.

Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы).
Пусть система линейных алгебраических уравнений задана в матричной форме А*Х=В, где матрицаA имеет размерность n на n и ее определитель отличен от нуля. Так как , то матрица А – обратима, то есть, существует обратная матрица . Если умножить обе части равенства А*Х=В  на  слева, то получим формулу для нахождения матрицы-столбца неизвестных переменных . Так мы получили решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.

Т.Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных. 
Теорема Кронекера-Капелли применяется при исследованиях систем алгебраических уравнений (без непосредственного решения системы). В результате исследования должна быть записана эквивалентная система алгебраических уравнений с минимальным числом уравнений.

19. Система линейных однородных уравнений.

Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rank A < n.

Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:

Доказательство. Для этой системы набор чисел x1=0, X2=2 ,xn=0, является решением.

В этом разделе мы будем использовать матричную запись системы: Ax=0.

Сумма решений однородной системы линейных уравнений является решением этой системы.

Решение, умноженное на число, тоже является решением.

Доказательство. Пусть c и d служат решениями системы. Ax=0 Тогда Ac=0 иAd=0 . Пусть. Тогда g=c+d.

Ag=A(c+d)=Ac+Ad=0+0+0

Так какAg=0 , то — решение.

Пусть a — произвольное число, h=ac. ТогдаAh=A(ac)=a(Ac)=a*0=0

Так как Ah=0 , то h — решение

Если однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много различных решений.

Действительно, умножая ненулевое решение на различные числа, будем получать различные решения.

Будем говорить, что решения x(1),x(2),….x(n) системы Ax=0 образуют фундаментальную систему решений, если столбцы x(1), x(2),…..x(n) образуют линейно независимую систему и любое решение системы является линейной комбинацией этих столбцов.

Пусть x(1),x(2),…x(n) — фундаментальная системаAx=0 решений однородной системы. Тогда выражениеx=C1x(1)+C2x(2),…..+Cnx(n), где C1,C2,….Cn произвольные числа, будем называть общим решением системы Ax=0.

Из определения фундаментальной системы решений следует, что любое решение однородной системы может быть получено из общего решения при некоторых значениях C1,C2,…..Cn И наоборот, при любых фиксированных числовых значениях C1,C2,…..Cn из общего решения получим решение однородной системы.

Пусть x(1),x(2),….x(n) — фундаментальная система решений однородной системы Ax=0. Тогда RgA+k=n, где n— число неизвестных в системе.

15. Св-ва определителя. Миноры. Алгебраические дополнения.

Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы

Свойство определителя:

1) При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.

2) Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

3) Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

4) Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

5) Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

6) Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

7) Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.

8) Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

9) Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей.

Минор—определитель такой квадратной матрицы В порядка К, элементы которой стоят в матрице на пересечении строк с номерами