Учебные материалы по математике | Теорема коши | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Теорема коши


П.3. Свойства òc f(z)dz

Поскольку значение контурного интеграла зависит от направления интегрирования, условимся в качестве положительного направления обхода контура принимать направление, при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром, остается слева от направления движения. Интегрирование в положительном направлении будем ообозначать символом òc+ f(z)dz или просто òc f(z)dz, интегрирование в отрицательном направлении — òc — f(z)dz.

 

1)  òc+ f(z)dz=-òc — f(z)dz; 2) Линейность. 3) òC1+…Cn f(z)dz=òC1 f(z)dz+…=òCn f(z)dz.

4) |òc f(z)dz|£òc |f(z)|dz£MLc;

5) Вычисление интеграла интегрированием по параметру:

òc f(z)dz=òba f[z(t)]z'(t)dt.

Пример. =2pi . Результат не зависит ни от R0, ни от z0 !!

6) Замена переменных. Пусть $ j(x): z=j(x); C«G на плоскости x и j(x)ÎC¥(D) и однолистная в D, где D — область комплексной плоскости x, содержащая G.

=>òc f(z)dz=òG f[j(x)]j'(x)dx.

§6. Теорема Коши.

п.1. Вспомогательные положения.

1)  Определение. Область g плоскости (x, y) называется квадрируемой если sup множества площадей всех вписанных многоугольников P* равна inf множества площадей всех описанных многоугольников P*.

Число P=P*=P* называют площадью плоской области g (по Жордану). Достаточное условие квадрируемости — кусочная гладкость (спрямляемость) границы — ¶g.

2)  Для функции f(x, y)ÎC(g) и |f(x, y)|£A — кусочно непрерывной и ограниченной в квадрируемой области g $òògf(x, y)dxdy, понимаемый как предел последовательности соответствующих интегральных сумм.

3)  Определение .Область g на плоскости называется односвязной, если для " замкнутого контура Ìg, ограниченная им часть плоскости целиком Ìg.

4)  Формула Грина. Пусть P(x, y), Q(x, y) ÎC(`g), причем ¶g — кусочно — гладкий контур и Px, Py, Qx, Qy ÌC(g), тогда

ò¶g Pdx+Qdy=òòg(¶Q/¶x —¶P/¶y) dxdy.

П.2. Теорема Коши.

Теорема 6.1.(Теорема Коши)

Если f(z)ÎC¥(g), в односвязной области g, то для " замкнутого контура gÌg ògf(z)dz =0.

Доказательство. òg f(z)dz=òg udx-vdy+iòg vdx+udy=(по формуле Грина

=òòg’ (-vx-uy)dxdy+iòòg’ (ux-vy)dxdy=(из условий Коши-Римана: ux=vy; uy=-vx

=òòg’ (uy-uy)dxdy+iòòg’ (vy-vy)dxdy=0. n

Замечания.

1)  Требование односвязности области является существенным. Например, пусть область g представляет собой круговое кольцо 1<|z|<3. Функция f(z)=1/zÎC¥(g). Однако, ò|z|=2 dz/z=2pi¹0. Это связан в частности с тем, что контур |z|=2 не образует полную границу области аналитичности f(z).

2)  Определение Функция называется аналитической в замкнутой области g f(z)ÎC¥(`g), если f(z)ÎC¥(g) и f(z) ÎC (`g). Т. е. f(z)ÎC (¶g). Определение справедливо и для многосвязной области.

Теорема 6.2.(II-я Теорема Коши) Если f(z)ÎC¥(`g), g-односвязная, то ò¶g f(z)dz =0.

Теорема переносится и на случай многосвязной области.

Теорема 6.3.(Теорема Коши для многосвязной обасти) Пусть f(z)ÎC¥ (g), g-многосвязная, ограниченная извне контуром C0, а изнутри — контурами C1, C2,…Cn и пусть f(z)ÎC (`g). Тогда òС f(z)dz =0, где С-полная граница g, С= C0ÈC1ÈC2…ÈCn, проходящая в положительном направлении.

Доказательство. Проведем гладкие кривые g1,g2,…gn, соединяющие контур C0 с контурами C1, C2,…Cn и не пересекающиеся между собой. Тогда область, ограниченная кривыми C0,C1,C2…,Cn и кривыми g1,g2,…gn, проходимыми дважды в противоположных направлениях оказывается односвязной. По II теореме Коши интеграл по границе этой области равен 0. Но интегралы по вспомогательным кривым g1,g2,…gn проходятся дважды в противоположных направлениях и при суммировании интегралов выпадают. Поэтому

òС0+ f(z)dz+òС1- f(z)dz+…òСn — f(z)dz =0 . n

П.3. Следствия теоремы Коши.

1)  Если g — односвязная и f(z)ÎC¥ (g), то для "z1,z2Îg не зависит от пути интегрирования. При фиксированном z0 =F(z)- функция только z!

2)  Неопределенный интеграл. Пусть g-односвязная область, f(z)ÎC(g), для "замкнутого контура gÌg ògf(z)dz =0; =F(z)- неопределенный интеграл f(z). Какие свойства F(z)?

Теорема 6.4. Если g-односвязная и f(z)ÎC(g) и для "замкнутого контура gÌg ògf(z)dz =0, то F(z) $ и F(z)ÎC¥ (g).

Доказательство. £

£ <e при ïDzï<d=>$ =F'(z)=f(z)ÎC(g)

=>F(z)ÎC¥ (g) n

Замечания.

1)  Понятие первообразной. Пусть f(z)ÎC(g). Тогда первообразной F(z) функции f(z) в g называется "F(z)ÎC¥ (g) такая, что F'(z)=f(z).

Свойства неопределенного интеграла.

1.  Неопределенный интеграл f(z) в односвязной области g — первообразная f(z).

2.  Если $ первообразная f(z), то их $ бесконечно много, но все они различаются на аддитивную постоянную F’1(z)- F’2(z)=0 => F1(z)=F2(z)+C.

3.  Формула Ньютона-Лейбница. Если g-односвязная и f(z)ÎC(g) и для "замкнутого контура gÌg ògf(z)dz =0, то=F(z2)-F(z1); где F — " первообразная.

4.  Формула интегрирования по частям. Если g-односвязная и f(z),g(z)ÎC(g) и для "замкнутого контура gÌg ògf(z)dz =0 и ògg(z)dz =0, то

5.  Формула конечных приращений, вообще говоря не верна

f(b)-f(a)≠(b-a)f'(x*); x*Î(a, b).

6.  Формула Коши-Адамара. Пусть g — односвязная и f(z)ÎC¥ (g) и для " замкнутого контура gÌg ògf'(x)dx =0; f(z)- первообразная f'(z)=> =f(z+Dz)-f(z). В качестве пути интегрирования возьмем прямолинейный отрезок, соединяющий z и z+Dz: x=z+Dzq; 0£q£1; dx=Dzdq. Получим:

f(z+Dz)-f(z)=Dzформула Коши-Адамара.

7.  При вычислении интеграла от аналитической функции контур интегрирования можно деформировать так, чтобы он не выходил из области аналитичности подынтегральной функции. Деформируя контур интегрирования так, как это допускается теоремой Коши, можно легко вычислить многие интегралы.

Важный пример. Вычислить интеграл òc dz/z, по контуру, изображенному на рисунке слева.

Обратим внимание на то, что контур вообще не задан какой-либо формулой. Важны его начальная и конечная точки и то, сколько раз он обходит вокруг начала координат. Нам нужно разумно деформировать наш контур, чтобы интеграл подсчитывался легко.

Для этого заметим, что интеграл òc dz/z легко вычисляется по контурам двух типов: во — первых вдоль действительной оси: dz=dx, =lnx (x>0); во-вторых, что менее очевидно, по дуге окружности с центром в особой точке z=0 и радиусом r. На этой окружности z=reiq, dz=ireiqdq, так что ò dz/z=iòdq. Поэтому разумно деформировать наш контур в окружность с центром в нуле и радиусом r, которая пробегается дважды и еще по ней проходит дуга в j радиан. Ответ: наш интеграл равен lnr+4pi+ij.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод