Теорема коши-гурса
Теорема Коши-Гурса.
Теорема (Коши-Гурса). Если функция голоморфна в односвязной области , то интеграл от нее по любому замкнутоиу контуру , лежащему внутри области, равен нулю
(5.8) |
Доказательство проводится в несколько шагов.
1. Рассмотрим сначала случай, когда является границей треугольника, лежащего внутри . Предположим, что для некоторого такого треугольника с границей
(5.9) |
Обозначим через периметр этого треугольника. Разобьем треугольник на четыре равных треугольника, соединив между собой медианы его сторон.
Интеграл по границе каждого треугольника можно представить как сумму интегралов по его сторонам.
Если теперь сложить все интегралы, то интеграл по отрезкам, лежащим внутри исходного треугольника, уничтожаются (интегралы по ним вычисляются в двух противоположных направлениях) и останутся только интегралы по отрезкам, составляющим контур . Таким образом
Модуль правой части равен , отсюда следует, что модуль хотя бы одного слагаемого в левой части не меньше, чем . Обозначим через границу этого треугольника. В силу подобия его периметр будет равен . Аналогично разбиваем этот треугольник на 4 части и, продолжая процесс, строим последовательность вложенных друг в друга треугольников с границами и периметрами , для которых
(5.10) |
Эти треугольники имеют общую точку . По условию функция голоморфна в этой точке, и ее можно представить в виде
где , когда . Вычисляем
в (5.2) и (5.3) было показано что и , поэтому
воспользуемся оценкой интеграла (5.5) и тем что , тогда
(5.11) |
Сравнивая равенства (5.10) и (5.11), сокращая на , получаем