Учебные материалы по математике | Теорема коши-гурса | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Теорема коши-гурса


Теорема Коши-Гурса.

Теорема (Коши-Гурса). Если функция $ f(z)$голоморфна в односвязной области $ G$, то интеграл от нее по любому замкнутоиу контуру $ Gamma$, лежащему внутри области, равен нулю

$displaystyle ointlimits_{Gamma } {f(z)dz = 0} .$

(5.8)

Доказательство проводится в несколько шагов.

1. Рассмотрим сначала случай, когда $ Gamma$является границей треугольника, лежащего внутри $ G$. Предположим, что для некоторого такого треугольника с границей $ Delta $

$displaystyle leftvert {ointlimits_{Delta } {fleft( {z} right)dz} } rightvert = M neq 0.$

(5.9)

Обозначим через $ P$периметр этого треугольника. Разобьем треугольник на четыре равных треугольника, соединив между собой медианы его сторон.

Интеграл по границе $ Delta _{j } $$ left( j = 1,2,3,4
right)$каждого треугольника можно представить как сумму интегралов по его сторонам.

Если теперь сложить все интегралы, то интеграл по отрезкам, лежащим внутри исходного треугольника, уничтожаются (интегралы по ним вычисляются в двух противоположных направлениях) и останутся только интегралы по отрезкам, составляющим контур $ Delta $. Таким образом

$displaystyle sumlimits_{j = 1}^{4} {ointlimits_{Delta_j }
{fleft( {z}right)dz
= ointlimits_{Delta } {fleft( {z} right)dz} } }
$

Модуль правой части равен $ M$, отсюда следует, что модуль хотя бы одного слагаемого в левой части не меньше, чем $ frac{{1}}{{4}}M$. Обозначим через $ Delta ^{left( {1} right)}$границу этого треугольника. В силу подобия его периметр будет равен $ frac{{1}}{{2}}P$. Аналогично разбиваем этот треугольник на 4 части и, продолжая процесс, строим последовательность вложенных друг в друга треугольников с границами $ Delta^{left( {n} right)}$и периметрами $ P_{n} =
frac{{1}}{{2^{n}}}P$, для которых

$displaystyle leftvert {ointlimits_{Delta ^{left( {n} right)}} {fleft( {z} right)dz} } rightvert ge frac{{1}}{{4^{n}}}M$

(5.10)

Эти треугольники имеют общую точку $ z_{0} $. По условию функция $ f(z)$голоморфна в этой точке, и ее можно представить в виде

$displaystyle f(z) = f(z_{0} ) + {f}'(z_{0} )(z - z_{0} ) + (z - z_{0} )eta ,
$

где $, когда $ leftvert {z -
z_{0} }rightvert to 0$. Вычисляем

$displaystyle ointlimits_{Delta ^{n}} {f(z)dz} = ointlimits_{Delta ^{n}}
{left[
{f(z_{0} ) + {f}'(z_{0} )(z - z_{0} ) + (z - z_{0} )eta }
right]} ^{}dz
$

в (5.2) и (5.3) было показано что $ oint {dz = 0}
$и $ oint{zdz} =0$, поэтому

$displaystyle ointlimits_{Delta ^{n}} {fleft( {z} right)^{}dz =
intlimits_{Delta
^{n}} {left( {z - z_{0} } right)eta ^{}dz} }
$

воспользуемся оценкой интеграла (5.5) и тем что $, тогда

$displaystyle leftvert {ointlimits_{Delta ^{(n)}} {fleft( {z} right)dz} ...
... ^{left( {n} right)}} leftvert {eta } rightvertfrac{{P^{2}}}{{4^{n}}}}.$

(5.11)

Сравнивая равенства (5.10) и (5.11), сокращая на $ 4^{n}$, получаем

$displaystyle M le {mathop {{rm max}}limits_{z in Delta ^{(n)}} leftvert
{eta }
rightvert P^{2}}.
$

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод