Учебные материалы по математике | Теорема коши для односвязной области | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Теорема коши для односвязной области


Кроме этого длина обладает свойством аддитивности

что следует из аддитивности интеграла (8).

Вычислим длину единичной окружности:

.

Итак: число "пи" равно половине длины единичной окружности. Это есть геометрический смысл числа "пи".

И4[оценка интеграла] Пусть |f(z(t))| ≤ M для любого t∈ [a, b ] спрямляемой кривой L. Тогда |ò Lf(z) dz| ≤ M⋅ длина (L).

Вычислим интегралы (n∈ℤ ) , которые позже понадобятся для представления функции в виде суммы ряда.

Если n=1, то этот интеграл равен 2πi, иначе он равен нулю. Итак:

Как следствие получаем: если γk — окружность |z-z0|=𝜺 , проходимая против часовой стрелки k раз, то ∮γ _k dz/(z-z0) =2πki.

15  Теорема Коши

15.1  Теорема Коши для односвязной области

Пусть функция f(z)=u(x, y)+iv(x, y) аналитична на замкнутой ограниченной многосвязной области D, и L — замкнутая кусочно-гладкая кривая. Преобразуя интеграл ∮L u dx-v dy по формуле Грина к двойному интегралу и учитывая условия Коши—Римана, получаем, что значение этого интеграла равно нулю. Аналогично доказывается равенство ∮L udy+vdx=0. Итак:

Теорема Коши. Интеграл по замкнутому контуру от аналитической функции в односвязной области равен 0 .

Теорема. Пусть аналитична в открытой ограниченной односвязной области D и непрерывна на ее замыкании. Тогда интеграл по границе этой области равен 0

Теорема. Пусть аналитична в некоторой односвязной области G. Тогда интеграл по всякой дуге, находящейся внутри области G зависит только от положения начальной и конечной точки и является аналитической функцией. При этом

Доказательство. Заметим, что действительнозначная функция двух переменных Φ (x, y)=ò(x, y) u dx-v dy — потенциал векторного поля (u,-v), а функция Ψ (x, y)=ò(x_0,y_0)(x, y) v dx+u dy — потенциал векторного поля (v, u). Тогда

∂ (Φ +iΨ )/ ∂x =u+iv, ∂ (Φ +iΨ )/ ∂y =-v+iu,

откуда и следует результат. Отсюда получаем формулу для функций комплексного переменного, аналогичную формуле Ньютона-Лейбница:

15.2  Распространение на многосвязные области

Теорема Коши для многосвязной области. Пусть аналитична в многосвязной области D и непрерывна на ее замыкании, тогда интеграл по границе области D равен 0:

∮∂D f(z) dz=0.

Доказательство. Разрезая, можно превратить многосвязную область в односвязную. Так, например, на рис.

D

Рис. Разрезание многосвязной области

D — двусвязная область, ограниченная двумя гладкими кривыми L1 и L2. Тем самым ∂D=L1+L2. Разрезая эту область по кривой γ, получаем односвязную область Dγ с границей L1+L2+γ +γ-. Интеграл от функции f(z) по этой границе равен 0 по предыдущей теореме Коши. Тогда

∮∂D f(z) dz=∮∂D f(z) dz+òγ f(z) dz+òγ ^- f(z) dz=∮∂(Dγ) f(z) dz=0.

16  Интегральная формула Коши

Пусть непрерывна на замкнутой ограниченной области D с границей L=∂D и интеграл от нее по любому замкнутому контуру равен нулю. Выберем точку внутри области и рассмотрим круг , целиком лежащий внутри области D. Обозначим через cρ окружность |z-a| = ρ , проходимую один раз против часовой стрелки. Тогда по условию имеем:

В силу непрерывности функции , для любого 𝜺 >0 найдется ρ =ρ (𝜺 )>0 такое, что для любых на окружности cρ . Отсюда получаем оценку:

Ввиду соотношения ( 1) и равенства , извлекаем неравенство

Переходя здесь к пределу 𝜺 → 0, получаем интегральную формулу Коши

Интегральную формулу удобно переписать в виде

где ζ — переменная, пробегающая границу области D, а z — любая внутренняя точка области D. Тогда формула Коши (2) выражает следующий факт:

значения аналитической функции внутри области однозначно определяются значениями на границе этой области.

Применим интегральную формулу, когда L — окружность радиуса R с центром в точке . Учитывая, что (0≤ 𝜑 ≤ 2π ) и dz=Riei𝜑 d𝜑 , получаем

В правой части стоит среднее интегральное значений функции f(z) на окружности L. Отсюда вытекает

Принцип максимума: модуль функции, отличной от постоянной и аналитичной в некоторой области, не может ни в одной внутренней точке этой области принимать максимальное для этой области значение.

Формула для интегрального представления производных высших порядков функции f(z) получается дифференцированием (2) под знаком интеграла:

17  Ряд Тейлора

Рассмотрим функцию f(z), аналитическую внутри замкнутого круга D с центром в точке a. Тогда для любой внутренней точки z этого круга имеет место равенство

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод