Теорема ферма и роля

,,,

,

37. Диф-л функции, его геометр. смысл. Приближенные выч-ия с пом. Диф-ла.

Рассм. Ф-ию y=f(x), имеющую произв. в каждой точке ее обл. опр-я. Диф-лом ф-и y=f(x) наз. произведение произв-й этой ф-и на приращение независ. переменной х Диф-л независ. переем-й равен приращению этой переменной, поэтому диф-л ф-и равен произведению ее производной на диф-л незав. перем-ой. Геометр. смысл: диф-л ф-и равен приращению ординаты касательной к граф. Данной ф-и, когда аргумент получает приращение дельта х.

Бесконечно малое приращение ф-и эквивал. диф-лу этой ф-и при всех знач. незав. перем-ой, для кот-х произв-я ф-и конечна и отлична от нуля. f(x+дельтах)прибл.=f(x)+f’(x)*дельтаХ. Эта ф-ла позволяет вычислять прибл. знач-е ф-и, соотв-ее приращ-му знач. аргумента, если известно ее знач. в этой т. и знач. производной в этой т., когда приращение арг-та достаточно мало.

38.Теорема Ферма и Роля. Теорема Ферма: Если функция f(x) определена на интер(а, b) и в некот. точке x0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение, тогда если в точке х0 существует производная, то она равна нулю.

Теорема Роля: Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема внутри этого отрезка, причем f(a)=f(b), то существует по крайней мере одна точка x=c, принадлежащей отрезку (a, b), такая, что f’(c)=0 (касательная // OX)

39. Теорема Лагранжа: Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема внутри этого отрезка, то существует по крайней мере одна точка с, принадлежащая отрезку (а, b), для которой справедлива формула: f(b)-f(a)/(b-a)=f”(c).Эта формула наз. Формулой конечных приращений Лагранжа.

40. Правило Лопиталя. Исп. при вычис. пределов для раскрытия неопредел.();().Теорема Лопиталя: Если ф-и у=f(х) и у=ф(х) удовлетв. услов. теор. Коши в нек. окрестн. х=,стремят. к 0() при хи сущ. lim ,то сущ limи эти пределы равны. Пр. Лопиталя справедливо и при =.

Пример: lim sinx/x=lim (sinx)’/x’=lim cosx/1=1.

42. Экстремум ф-ции и его необходимое условие. Достаточные признаки экст.

Т. х0 наз. т.миним. ф-и f(х),если можно найти такую проколот. окрестн. этой т.,что для люб. т.х из этой окрестн. выполн. услов. f(x)>f(х0).

Т. х0 наз. т.макс.,если можно найти такую прокол. окрестн. этой т.,что для люб. т. х из этой окрестн. f(x)<f(х0).Т. мин и макс — т. экстрем.

Необход. услов. экстрем.:Если в т. экстрем. ф-я f(x) имеет производ., то эта произв=0.Эта т. наз. стационарной. т. области определения ф-и в кот. произв=0 либо не сущ. наз. критическими.

Достаточн. услов.:1.Пусть ф-я непрерыв. в нек. интервале, сод. критичес. т. х= и дифференцируема во всех т. этого интервала, кроме т. .Если f’(x)<0 при х<х0 и f’(x)>0 при х> х0,то х0‑минимум.

Если f’(x)>0 при х< х0 и f’(x)<0 при х> х0,то максимум.

Т. к. f’(x)<0 при х< х0 и f(x)непрерывна в т. х0,то f(x)убывает при x< х0 и выполн. услов. f(x)>f(х0).

Т. к. f’(x)>0 при x> х0 и f(x)непрерыв. в т. х0, то f(x) возраст. при x> х0 и f(x)>f(х0).

2. Пусть ф-я у=f(x) дважды дифференц. и f’(х0)=0,тогда в т. х= х0 ф-я имеет локальный максим. Если f’’(x)<0 и лок. мин. если f’’(х0)>0.

Если f’’(х0)=0,то х= х0 может и не быть экстремумом.

43. Вып-ть и вогн-ть кривой. Точки перегиба. Пусть ф-я f(x) имеет f’(x) в каждой точке промеж-ка (а;b), если на интерв. (а;b) график ф-и f(x) распол-н выше любой своей касат-й, провед-й в т.

этого промежутка, то ф-я наз-ся вогнутой (выпук-й вниз)на этом промеж-ке.

Если на промеж-ке (а;b) ф-я f(x) ниже своей касат-й, то ф-я – выпук-ая (вверх).

Т. х0 наз-ся т. перегиба ф-и f(x), если в этой точке ф-я имеет произв-ную и сущ-т 2 промеж-ка (а;х0) и (х0;b), на одном из кот. ф-я вып-ла, на др.-вогнута.

Теорема (достат. усл-е вып-ти): если во всех точках интервала (а;b) f’’(x) отриц-на (полож.), то кривая у=f(x) в этом интер-ле выпукла (вогн-та).

Теорема (дост. усл. перегиба): если в т. х0 f’’(x0)=0 или f’(x0) не сущ-т и при переходе через эту точку f’’(x) меняет знак, то т. х0 – т. перегиба.

44. Асимптоты графика ф-и. Прямая l наз-ся асимптотой кривой у=f(x), если расст-е от т. М кривой до прямой l при удалении т. М в ∞ стрем-ся к нулю, если сущ-т числа х=хi (i=1;n), при кот. , т. е. ф–я имеет бесконеч. разрвы, то прямые х=хi наз-ся вертик. асимптотами кривой у=f(x).

εε

Если сущ-т ,, то прямые y=kx+b наз-ся наклонными (при –k=0 – горизонт.) асимптотами кривой у=f(x).

45. Ф-и неск. переменных. Частные произв-е и полный дифф-л. Пусть каждой упорядоч. паре чисел (х, у) из некот. обл-ти (D) соотв-т определ. число Z, тогда Z наз-ся ф-ей 2х переменных х, у, х и у – независ. перем-е (аргументы), D – обл-ть опред-ия ф-и, множество Е всех значений ф-и – обл-ть ее значений. Z=f(x, y). Т. к. всякое ур-ние Z=f(x, y) опред-т вообще говоря в пространстве, в кот. введена декарт. сист-а координат по x, y,z некот. пов-ть, то под графиком ф-и 2х перем-х подним-ся пов-ть, образ-ная множеством точек М(x, y,z) простран., координаты кот. удовл-т ур-нию Z=f(x, y).

Величина у наз-ся ф-ей переменной х1,х2,…,хп , если каждой сов-ти (х1,х2,…,хп) из некот. обл-ти n-мерного простр-ва соотв-т опред. значение у: у=f(x1,x2,…,xn). Т. к. в n-мерном простр-ве сов-ть значений независ. перем-х x1,x2,…,xn опред-т точку n-мерного простр-ва М(x1,x2,…,xn), то такую ф-ю неск. перем-х можно рассм-ть как ф-ю точек М простр-ва соотв-ей размерности: у=f(М). Число А наз-ся пределом ф-и Z=f(x, y) в т. М0(x0,y0), если для любого ε›0 сущ-т ∆›0 такое, что при всех х, у, удовлет. ур-ю Іх-х0І‹δ, Іу-у0І‹δ, справедлино нерав-во Іf(x, y)-АІ‹ε. .