Свойства степенных рядов

(или — центр разложения) называется степенными рядами.

Теорема Абеля: Если степенной ряд сходится при x=0, то этот ряд сходится абсолютно для всех x таких, что . Доказательство : Ряд сходится при , значит

Рассмотрим ряд

сходится, т. к. 0<q<1=> сходится, значит сходится абсолютно.

Следствие: Если расходится при x=h, то ряд будет расходиться для всех x таких, что |х|>|h|.

Если ряд сходится только при х=0, то R=0; если ряд сходится при "х, то R=+¥ .

Замечание 1: Т. Абеля и ее следствие имеют место и для комплексных рядов. Замечание 2: Для рядов вида (1) интервал сходимости: (-R; +R), а для рядов (1’) круг сходимости |—|<R

Теорема 2: Если или , где 0<l<+¥, то радиус сходимости . Доказательство: Исследуем ряд на абсолютную сходимость, для чего рассмотрим ряд . Пусть , тогда и |x|<1/l – область абсолютной сходимости. Если |x|>1/l, то ряд расходится; если |x|=1/l, то о сходимости ряда ничего сказать нельзя.

Для комплексных рядов доказательство дословно.

Замечание: Если или , то радиус сходимости равен 0. Если или то радиус сходимости равен +¥ (сходится при всех x или z).

24.Свойства степенных рядов:

Теорема 1: Степенной ряд сходится абсолютно и равномерно на " [-а; а] , а>0, содержащемся в (-R; R), R>0. Доказательство: 0<a<R ряд сходится "x такого, что |x|<=a. =>сходится абсолютно, асходится равномерно на [-а; а]. Теорема 2: Сумма степенного ряда S(x) непрерывна в каждой точке x его интервала сходимости. Доказательство: Точку x можно заключить в отрезок [-а; а], где 0<a<R. На [-а; а] рядсходится равномерно, значит непрерывная последовательность и S(x)= непрерывна на [-а; а]. Теорема 3: Если R – радиус сходимости ряда S(x)= (2), то

1)  ряд (2) можно дифференцировать почленно на (-R; R) S’=(3)

2)  ряд (2) можно интегрировать почленно на (-R; R) (4)

3)  степенные ряды (3) и (4) имеют тот же радиус сходимости, что и ряд (2).

Доказательство: Рассмотрим ряд (3). Пусть радиус сходимости равен R1. R1== R. Для ряда (4) радиус сходимости равен R2.

R2==R. Ряды (2), (3), (4) сходятся равномерно и абсолютно на " [-а; а], содержащемся в интервале сходимости (по теореме 1).

Следствие 1:Степенной ряд (2) в интервале (-R; R) можно дифференцировать любое количество раз, причем радиусы сходимости полученных рядов будут равны R. Следствие 2: Степенной ряд (2) можно почленно интегрировать любое число раз на [-x; x], содержащемся в интервале сходимости. Замечание: При почленном интегрировании степенного ряда радиус сходимости остается тем же, но множество сходимости может увеличиваться за счет концевых точек; при почленном дифференцировании степенного ряда множество сходимости может уменьшаться за счет концевых точек.

25. Ряд Тейлора. Критерий разложимости функции в ряд Тейлора.

Функция f(x) разлагается в степенной ряд в интервале (-R; R), если на этом интервале указанный ряд сходится и его сумма равна f(x).

f(x)=(*). Теорема: Если функция f(x) на интервале (-R; R) разлагается в степенной ряд (*), то это разложение единственно, т. е. коэффициенты ряда (*) определены однозначно. Доказательство: f(x)= ; x=0, то f(0)= f ‘(x)=при x=0

= f ‘(0). Аналогично =f ‘’(0)/ 2!, … , = / n!. Замечание: Если функция f(x) разложена в степенной ряд по степеням разности в интервале