Свойства скалярного умножения векторов

Опр.2. Векторное пространство E над , в котором определено скалярное умножение, называется евклидовым пространством.

Свойства скалярного умножения векторов:

1) E .

Доказательство: ▲.

2) E .

Доказательство: ▲.

3) E .

Доказательство: E, . Тогда ▲.

Примеры:

1. .

2. .

3. Всякое ненулевое конечномерное векторное пространство над полем можно превратить в евклидово пространство следующим образом: выберем в базис, пусть этот базис — . Тогда . Формула определяет скалярное произведение в .

Ортогональный базис

Опр.3. Векторы а и b евклидового пространства E называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Опр.4. Система векторов евклидового пространства E называется ортогональной, если ортогональны любые два вектора этой системы. Система из одного ненулевого вектора считается ортогональной.

Опр.5. Ортогональная система векторов, являющаяся базисом евклидового пространства E, называется ортогональным базисом пространства E.

Теорема 1. Любая ортогональная система ненулевых векторов евклидового пространства E линейно независима.

Доказательство: «от противного» Пусть нашлась линейно зависимая ортогональная система ненулевых векторов . Тогда , не равные нулю одновременно, такие, что . Пусть, для определенности, .

Найдем скалярное произведение

Значит, любая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима. ▲.

Теорема 2. В каждом ненулевом конечномерном евклидовом пространстве E существует ортогональный базис.

Доказательство: Пусть E — п-мерное () евклидово пространство, тогда в пространстве E существует базис, состоящий из п векторов. Пусть — некоторый базис пространства E. Построим ортогональный базис следующим образом.

Положим .

Ищем вектор в виде . Требуем, чтобы

.

Отметим, что . Действительно, в противном случае имели бы (1) линейно зависима — противоречие. Итак, .

Ищем вектор в виде . Выясним, как надо выбрать коэффициенты , чтобы

Аналогично предыдущему случаю .

— — — — — — — — — — — — — — — — —