Свойства неопределенных интегралов

Рассмотрим производную разности:

((x)-(x))`=(x)-(x)=f(x)-f(x)≡0.

(x)-(x)=const.

Ч. Т.Д.

(x) – первообразная ф. f, то множество всех её первообразных имеет вид F(x)+C.

Определение. Множество всех первообразных ф.f(x) называется неопредел. интегралом ф. f(x) и обозн. ∫f(x)dx.

Ф-ция f(x) наз. подынтегральной функцией.

Выраж. f(x)dx наз. подынтегральн. выраж.

x — переменная интегрир.

Если F(x)-первообр. ф. f(x), то неопр. интегр.- ∫f(x)dx=F(x)+C.

Основные свойства неопр. интегралов:

1.Производная неопр. интеграла равна подынтегр. ф-ции; дифференциал неопр. интеграла равен подынтегр. выраж.: (f(x)dx)`=f(x), d=f(x)dx.

2.Неопр. интеграл от дифференциала некот. функции с точностью до пост. Слагаемого:=+С.

Док – во:

Пусть (x)=(x)dx=F(x).На основании 1св-ва получ.:(x)=F`(x), откуда F(x)=(x)+C, т.е. (x)=(x)+C.

3.Пост. множитель можно вынос. за знак неопр. интегр:=k(k=const, k0).

4.Если функция (x) и (x) имеют первообр. , то ф-ции (x) +(x) тоже имеют первообр.,причем (x)+(x)dx=(x)dx+(x)dx.

49.Замена переменной (подстановка) в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям.

Если функция х= φ (t) имеет непрерывную производную, то в неопределённом интеграле ∫ ƒ(х) dx всегда можно перейти к новой переменной t по формуле

∫ƒ(х) dx=∫ ƒ(φ(t)) φ’(t) dt=∫ ƒ(φ(t)) d(φ(t)).Отметим, что при замене х=φ(t) должно осуществляться взаимнооднозначное соответствие между областями D и D определения функций φ(t) и ƒ(х) такое, чтобы функция φ(t) принимала все значения х из области D, то есть х є D. Метод интегрирования по частям основан на формуле ∫ U dV=UV-∫ V dU, где U(х), V(х)- непрерывно диф. Функции.

50.Интегрирование рациональных функций. Рациональной функцией назыв. Функция равная отношению двух многочленов:R(x)= Qm(x)/Pn(x)=(b0xm+b1xm-1+…+bm)/(a0xn+a1xn-1+

+…+an), где m, n єN; bi, ai є R. Если m<n, то R(x) называют правильной дробью. Если m≥n, то R(x) называют неправильной. Любую неправильную дробь можно представить ввиде суммы некоторого многочлена и правильной дроби. Далее будем рассматривать только правильные дроби. Простейшей дробью называется дробь одного из видов: 1)A/(x-a);

2)A/(x-a)k ; 3)(Mx+N)/(x2+px+q); 4)(Mx+N)/(x2+px+q)k , где M, N,A, a,p, q — постоянные числа; k — целое большое либо равное 2, p2-4q<0. Известно, что всякий многочлен с действительными коэффициентами на множестве действительных чисел. Может быть представлен виде Pn(x)=a0(x-α1)k1…(x-αβ)kβ(x2+p1x+q1)t1…(x2+psx+qs)ts (2); k1+…+kβ+t1+…+ts=n. Pi2-4qi<0.Теорема( о разложении правильной дроби в сумму простейших дробей): всякую правильнуюдробь (1) со знаминателем, представленным виде (2) можно разложить в виде суммы простейших дробей типа 1-4.В данном разложении каждому корню αr кратности kr (x-αr)kr соответствует сумма kr дробей вида A1/(x-αr) + A2/(x-αr)2 + …+Akr/(x-αr)kr. Каждой паре комплекстно сопряжённых корней кратности tγ многочлена Pn(x) каждому множителю (x2+pγx+qγ)tγ соответствует сумма дробей вида (M1x+N1)/(x2+pγx+qγ) + (M2x+N2)/(x2+pγx+qγ)2 +…+(Mtγx+Ntγ)/(x2+pγx+qγ)tγ

51.Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.

1.Метод подведения под знак диф. Заключается в том, что некоторые сомножетели подинтегральной функции подводятся под знак диф, после чего используется подходящий табличный интеграл.2.Интегралы вида ∫ sin mx cos nx dx; ∫sin mx sin nx dx;

∫ cos mx cos nx dx применяются следующие формулы: sin mx cos nx= ½ (sibn (m+n)x+sin(m-n)x); sin mx sin nx= ½(cos(m-n)x-cos(m+n)x); cos mx cos nx=1/2(cos(m-n)x+cos(m+n)x).3.Интегралы вида:∫ cosmx sinnx dx интегрируются следующим образом:Если оба числа m и n– чётные, то пользуемся формулой понижения степени cos2x=(1+cosx)/2; sin2x=(1-cos2x)/2; sinx cosx=sin2x/2

52. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Неопределённый интеграл выделением полного квадрата в подкоренном выражении и введением новой переменной в зависимости от знака приводится к одному из интегралов:

Неопр. интеграл завис. от знака приводится к одному из интегралов:

Неопр. в завис. от знака приводится к одному из интегралов: