Учебные материалы по математике | Свойства множества целых неотрицательных чисел | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Свойства множества целых неотрицательных чисел


6. свойства мн-ва целых неотрицательных чисел: бесконечность, линейная упорядочность, дискретность, архимедовость, наличие наименьшего числа.

Теорема: во мн-ве целых чисел справедливо след-щие св-ва :

1.  если λ≤>β=> λ+γ≤>β+γ

2.  λ≤>β, γ>0=>λγ≤>βγ

3.  λ≤>β,γ<0=> λγ≤> βγ

λ – (а, в) λ<β=>а+в<в+с‌‌‌‌‌‌‌+(е+f)

β←(с,d) λ+γ←(а+с, в+ f)

γ← (е,f) β+γ←(с+е,d+f)

λ<β

λ+γ< β+γ a+d+e+f<b+c+e+f

(a+e)+(d+f)<(b+f)+(c+e)

λ+γ< β+γ

Это теорема о монотонности сложения и умножения.

Теорема: во множестве целых чисел выполнимо след-ие условия

1.  (VλЄZ)(λ<0 либо λ=0либоλ>0

2.  (Vλ,βЄZ)(λ>0,β>0=> λ+β>0, λβ>0

λ←(а, в) а+mЄN, b+mЄN

0←(m, m)

а+m<b+m либо а+m= b+m либо а+m>b+m

λ>0 а=b λ>0(сумма крайних больше суммы средних)

λ=0

λ – (а, в)

0←(m, m)

β←(с,d)

λ>0=>а>b

β>0=>c>d

λ+β>0 λβ>0

λ+β←(а+с, b+d)

λβ←(ас+bd, аd+bc)

а+c>b+d

а-b>0

c-d>0

(а-b)( c-d) (ас+bd)- (аd+bc)>0

ас+bd> аd+bc из последней теоремы следует сто мн-во целых чисел линейно упорядоченное множество.

Теорема: разность 2-х целых чисел λ иβ (λ -β>0) положительно тогда и только тогда когда λ>β

λ-β>0 Ûλ>β

λ← (а, в)

β←(с,d)

λ-β=λ+(-β)← (а, в)+(d, c)=(а+d, b+c)

λ-β>0 => а+d> b+c=>λ>β

λ>β=> а+d> b+c=>λ-β←(а+d, b+c)>0

Теорема: для любых 2-хцелых чисел (Vλ,βЄZ, β>0)( сущ-ет nЄN где λ<βn)

1.  λ>0=>λ,βЄN и во мн-ве натур-х чисел аксиома Архимеда выполнена

2.  λ≤0,β>0, n>0

βn>0

λ>βn

из последней теоремы следует что мн-во целых чисел Архимедовски расположено.

Теорема произведение целых чисел равно 0 , λβ=0 тогда и только тогда когда λ=0 либо β=0

λβ=0Û λ=0 либо β=0

λ←(а, в)

β←(с,d)

λβ←(ас+bd, аd+bc)

λβ=0=> ас+bd=аd+bc

а(c-d)-b(c-d)=0

(а-b)( c-d)=0

а=b либо c=d

λ=0 β=0

λ← (а, в)

λ=0=> а=b

λβ←(ас+аd, аd+аc)

0

Теорема Всякое целое число λ имеет соседнее число λ+1 т. е. не существует целого β, расположенного между этими числами

1.  λЄZ+, (λ+1) Є Z+, тогда обе части натуральные и теорема доказана

2.  λЄZ, λ→ (-λ)установим взаимооднозначное соответствие при котором каждому отрицательному λ поставим ему число (-λ)

(-λ) ЄN

Если бы между 2-мя отрицательными числами λ-1 и λЄZ существовало некоторое отрицательное число β βЄZ, то в силу взаимооднозначности для положительных чисел (-λ)

(-λ+1) ЄN существовало бы βЄN, находящееся между ними λ-1<β<λ

-λ<-β<-λ+1 это противоречит дискретности мн-ву натуральных чисел.

Теорема деление во множестве целых чисел не всегда выполнимо

λ← (а, в)

β←(с,d)

предположим что существует частное λ:β←(x, y)

(λ:β)•β=λ

(x, y)• (с,d)≈ (а, в)

(xc+yd)(xd+yc) ≈ (а, в)

xc+yd+b= xd+yc+а

(xc-yc)-(xd-yd)=а-b

c(x-y)-d(x-y)= а-b

(x-y)(c-d)= а-b

x-y= а-b

c-d

7. Понятие отрезка натурального ряда чисел. Счет элементов конечного мн-ва. Порядковые и количественные натуральные числа. Теоретико-множественная трактовка натурального числа, нуля, отношений «равно», «меньше» и «больше».

Понятие отрезка натурального ряда чисел: отрезком натурального ряда (Na) называют множество всех натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а

Na={xє|x≤a}

Пр-р: N7={xє|x≤7}={1,2,3,4,5,6,7}

Свойства отрезков натурального ряда:

1. (для любого a є N) 1є Na

a є N => a ≥ 1 => 1є Na

2. (для любого b є N, b≠a) (b є Na => b‘ є Na

b є Na => b ≠ a,│

b ≤ a│ => b < a => b’ ≤ a => b’ є Na

Необходимо убедиться в том, что любое конечное множество может быть взаимнооднозначно отображено лишь на один отрезок натурального ряда.

f : А→Na

f1 : А →Nb

Na→A, А→Na

Если предположить противное, т. е. существование наряду с взаимнооднозначным соответствием (f) : А→Na

взаимнооднозначное соответствие f1 : А →Nb это означало бы существование взаимнооднозначного соответствия переводящего Na→Nb, a ≠ b

Счетом элементов множества А называют взаимнооднозначное соответствие элементов этого множества на некоторый отрезок натурального ряда (Na), если такой отрезок для множества А находится, множество А называют конечным.

f:А→Na

Теорема: одно и тоже конечное мн-во нельзя взаимнооднозначно отобразить на два различных отрезка натурального ряда чисел.

В силу приведенных выше рассуждений достаточно доказать невозможность установления взаимнооднозначного соответствия между двумя различными отрезками Na и Nb , a≠b.

a≠b => [ a<b

[ a˃b

a<b

покажем данный факт методом математической индукции по a

a<b

1) a=1 b≠1, не существует взаимнооднозначное отображение N1→ Nb

N1={1}

т. к. b≠1 множеству Nb принадлежит хотя бы два элемента (1 и b) очевидным образом такого взаимнооднозначного соответствия установить нельзя (в противном случае множества оказались бы равномощными и содержали бы одинаковое число элементов)

2) предположим, что не существует взаимнооднозначного соответствия Na→ Nb , a≠b

покажем невозможность установления взаимнооднозначного соответствия

Na+1→Nc, с ≠ a+1

предположим (от противного) что такое соответствие нашлось, причем оно переводит элемент a+1→x є Nc в некоторый элемент x из Nc

уберем из Na+1 элемент x , тогда существует взаимнооднозначное соответствие между мн-ом Na и мн-ом Nс без элемента x

Na = Na+1 {a+1}

Nс {x}→ Nc-1

при этом a ≠ c-1, что противоречит предположению => не существует взаимнооднозначного соответствия Na+1→Nc , с ≠ a+1

опред: два мн-ва называют равномощным, когда их можно

взаимнооднозначно отобразить друг на друга.

Т. к. равномощные конечные мн-ва содержат одинаковое число элементов, общим свойством каждого полученного класса окажется одинаковое число элементов, т. е. некоторое натуральное число окажется характеристика соответствующего класса равномощных конечных множеств в этом и заключается теоретикомножественная трактовка натурального числа.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод