Свойства множества целых неотрицательных чисел

6. свойства мн-ва целых неотрицательных чисел: бесконечность, линейная упорядочность, дискретность, архимедовость, наличие наименьшего числа.

Теорема: во мн-ве целых чисел справедливо след-щие св-ва :

1.  если λ≤>β=> λ+γ≤>β+γ

2.  λ≤>β, γ>0=>λγ≤>βγ

3.  λ≤>β,γ<0=> λγ≤> βγ

λ – (а, в) λ<β=>а+в<в+с‌‌‌‌‌‌‌+(е+f)

β←(с,d) λ+γ←(а+с, в+ f)

γ← (е,f) β+γ←(с+е,d+f)

λ<β

λ+γ< β+γ a+d+e+f<b+c+e+f

(a+e)+(d+f)<(b+f)+(c+e)

λ+γ< β+γ

Это теорема о монотонности сложения и умножения.

Теорема: во множестве целых чисел выполнимо след-ие условия

1.  (VλЄZ)(λ<0 либо λ=0либоλ>0

2.  (Vλ,βЄZ)(λ>0,β>0=> λ+β>0, λβ>0

λ←(а, в) а+mЄN, b+mЄN

0←(m, m)

а+m<b+m либо а+m= b+m либо а+m>b+m

λ>0 а=b λ>0(сумма крайних больше суммы средних)

λ=0

λ – (а, в)

0←(m, m)

β←(с,d)

λ>0=>а>b

β>0=>c>d

λ+β>0 λβ>0

λ+β←(а+с, b+d)

λβ←(ас+bd, аd+bc)

а+c>b+d

а-b>0

c-d>0

(а-b)( c-d) (ас+bd)- (аd+bc)>0

ас+bd> аd+bc из последней теоремы следует сто мн-во целых чисел линейно упорядоченное множество.

Теорема: разность 2-х целых чисел λ иβ (λ -β>0) положительно тогда и только тогда когда λ>β

λ-β>0 Ûλ>β

λ← (а, в)

β←(с,d)

λ-β=λ+(-β)← (а, в)+(d, c)=(а+d, b+c)

λ-β>0 => а+d> b+c=>λ>β

λ>β=> а+d> b+c=>λ-β←(а+d, b+c)>0

Теорема: для любых 2-хцелых чисел (Vλ,βЄZ, β>0)( сущ-ет nЄN где λ<βn)

1.  λ>0=>λ,βЄN и во мн-ве натур-х чисел аксиома Архимеда выполнена

2.  λ≤0,β>0, n>0

βn>0

λ>βn

из последней теоремы следует что мн-во целых чисел Архимедовски расположено.

Теорема произведение целых чисел равно 0 , λβ=0 тогда и только тогда когда λ=0 либо β=0

λβ=0Û λ=0 либо β=0

λ←(а, в)

β←(с,d)

λβ←(ас+bd, аd+bc)

λβ=0=> ас+bd=аd+bc

а(c-d)-b(c-d)=0

(а-b)( c-d)=0

а=b либо c=d

λ=0 β=0

λ← (а, в)

λ=0=> а=b

λβ←(ас+аd, аd+аc)

0

Теорема Всякое целое число λ имеет соседнее число λ+1 т. е. не существует целого β, расположенного между этими числами

1.  λЄZ+, (λ+1) Є Z+, тогда обе части натуральные и теорема доказана

2.  λЄZ, λ→ (-λ)установим взаимооднозначное соответствие при котором каждому отрицательному λ поставим ему число (-λ)

(-λ) ЄN

Если бы между 2-мя отрицательными числами λ-1 и λЄZ существовало некоторое отрицательное число β βЄZ, то в силу взаимооднозначности для положительных чисел (-λ)

(-λ+1) ЄN существовало бы βЄN, находящееся между ними λ-1<β<λ

-λ<-β<-λ+1 это противоречит дискретности мн-ву натуральных чисел.

Теорема деление во множестве целых чисел не всегда выполнимо

λ← (а, в)

β←(с,d)

предположим что существует частное λ:β←(x, y)

(λ:β)•β=λ

(x, y)• (с,d)≈ (а, в)

(xc+yd)(xd+yc) ≈ (а, в)

xc+yd+b= xd+yc+а

(xc-yc)-(xd-yd)=а-b

c(x-y)-d(x-y)= а-b

(x-y)(c-d)= а-b

x-y= а-b

c-d

7. Понятие отрезка натурального ряда чисел. Счет элементов конечного мн-ва. Порядковые и количественные натуральные числа. Теоретико-множественная трактовка натурального числа, нуля, отношений «равно», «меньше» и «больше».

Понятие отрезка натурального ряда чисел: отрезком натурального ряда (Na) называют множество всех натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а

Na={xє|x≤a}

Пр-р: N7={xє|x≤7}={1,2,3,4,5,6,7}

Свойства отрезков натурального ряда:

1. (для любого a є N) 1є Na

a є N => a ≥ 1 => 1є Na

2. (для любого b є N, b≠a) (b є Na => b‘ є Na

b є Na => b ≠ a,│

b ≤ a│ => b < a => b’ ≤ a => b’ є Na

Необходимо убедиться в том, что любое конечное множество может быть взаимнооднозначно отображено лишь на один отрезок натурального ряда.

f : А→Na

f1 : А →Nb

Na→A, А→Na

Если предположить противное, т. е. существование наряду с взаимнооднозначным соответствием (f) : А→Na

взаимнооднозначное соответствие f1 : А →Nb это означало бы существование взаимнооднозначного соответствия переводящего Na→Nb, a ≠ b

Счетом элементов множества А называют взаимнооднозначное соответствие элементов этого множества на некоторый отрезок натурального ряда (Na), если такой отрезок для множества А находится, множество А называют конечным.

f:А→Na

Теорема: одно и тоже конечное мн-во нельзя взаимнооднозначно отобразить на два различных отрезка натурального ряда чисел.

В силу приведенных выше рассуждений достаточно доказать невозможность установления взаимнооднозначного соответствия между двумя различными отрезками Na и Nb , a≠b.

a≠b => [ a<b

[ a˃b

a<b

покажем данный факт методом математической индукции по a

a<b

1) a=1 b≠1, не существует взаимнооднозначное отображение N1→ Nb

N1={1}

т. к. b≠1 множеству Nb принадлежит хотя бы два элемента (1 и b) очевидным образом такого взаимнооднозначного соответствия установить нельзя (в противном случае множества оказались бы равномощными и содержали бы одинаковое число элементов)

2) предположим, что не существует взаимнооднозначного соответствия Na→ Nb , a≠b

покажем невозможность установления взаимнооднозначного соответствия

Na+1→Nc, с ≠ a+1

предположим (от противного) что такое соответствие нашлось, причем оно переводит элемент a+1→x є Nc в некоторый элемент x из Nc

уберем из Na+1 элемент x , тогда существует взаимнооднозначное соответствие между мн-ом Na и мн-ом Nс без элемента x

Na = Na+1 {a+1}

Nс {x}→ Nc-1

при этом a ≠ c-1, что противоречит предположению => не существует взаимнооднозначного соответствия Na+1→Nc , с ≠ a+1

опред: два мн-ва называют равномощным, когда их можно

взаимнооднозначно отобразить друг на друга.

Т. к. равномощные конечные мн-ва содержат одинаковое число элементов, общим свойством каждого полученного класса окажется одинаковое число элементов, т. е. некоторое натуральное число окажется характеристика соответствующего класса равномощных конечных множеств в этом и заключается теоретикомножественная трактовка натурального числа.