Свойства коэффициента корреляции

Если первый компонент отсутствует, то величины X Y наз-ся независимыми. Если второй компонент – функциональная связь. Соотношение м/у этими двумя компонентами определяет силу связи. Важнейшим показателем, оценивающим стахостическую связь, является коэфф-т корреляции.

При изучении св-в дисперсии для независимых сл-х величин дисперсия суммы = сумме дисперсий:

Для независимых: D(x+y)=DX+DY,

Для зависимых: D(x+y)≠DX+DY.

Из этого следует зависимость м/у сл. вел-ми. Обратное вообще говоря неверно. Может быть, что эта раз-ть =0, а зависимость все равно есть. Это означает, что дисперсия суммы сказывается не всякая стахостическая связь м/у слагаемыми.

Опр: Та часть стахост-й связи, к-ая сказывается на отличии дисперсии суммы от суммы дисперсий называется корреляцией.

, знаменатель для того, чтобы p – было безразличным числом.

Св-ва коэфф-а корреляции:

1)для независимых и некорр-х сл. величин ρ=0, 2) -1≤ρ≤1, при этом если ρ>0→связь близка к прямопро-м, если ρ<0, то к обратнопрог-м.

Чем ближе ρ по модулю к 1, тем связь м/у ними близка к функциональной.

Важно понять, что коэфф-т корреляции показывает силу связи, а не указывает на причину зависимости. Может быьт что сила связи обусловлена влиянием каких-то факторов, к-е оказались скрытыми в данном исследовании. Если ρ≠0, то этот коэфф-т хар-т ту часть стахост-й связи, которая наз-ся корр-й. Если ρ=±1, то это означает, что м/у Х и У имеется функцион-я связь.

Недостатки коэфф-а корреляции:

1)Из того, что ρ≠0 не следует зависимость Х и У. 2) ρ=±1 хар-ет не всякую линейную связь.

Вывод: Коэфф-т корреляции является показателем того, насколько связб м/у сл. вел-ми близка к строгой линейной зависимости.

Он одинаково отмечает не слишком большую криволинейность этой связи, но для некоторых широко распространенных сл. величин.

25)Классификация ур-ий с част. производными 2 порядка.

Математ-я физика представляет собой часть общей теории дифф-х уравнений частных производных.

Будем обозначать ч/з х=(х1,х2,….хn) линейные ур-ия 2 порядка от-но неизвестной функции.

U(x1,x2….xn)=U(x). Имеет след вид:

……

f(x)≡0 – то ур-ие однородное,

f(x)≡0 — то ур-ие неоднородное.

Уравнения 2 порядка раздел-я на три группы с помощью группы старших:

1)уравнение колебания струны:

2)уравнение теплопроводности:

3)уравнение Лапласа:

Выясним физич-й смысл этих уравнений.

u(x,t) – смещение струны.

Если вывести струну из равновесия, то каждая ее точка испытывает некоторое смещение u(x, t).

В идеальном случае это смещение удовлетворяет уравнению 2. Здесь А – коэфф-т, зависящий от физ-х св-в струны.

Имеется тело, часть повер-ти кот-го

недогревается. В таком теле возникает

температура поля, при чем темп-ра

меняется и от точки к точке, и от одного момента времени к другому: u=u(t,x,y,z) – эта ф-ция в идеальном случае удовлетворяет ур-ю теплопроводности.

k – коэфф-т, зависящий от св-в тела.

Рассмотрим теперь температурный процесс, установившийся во времени. В случае установившегося темп-го процесса ур-е 3 переходит в ур-е Лапласа.

….

Три приведенные ур-я соот-ют трем различным физ-м задачам, но они различаютя и в матем. плане.

Они яв-ся представителями трех важн-их типов уравнений частных производных:

-гиперболического,

-параболического, — эллиптического.

Изучение этих уравнений и составляет основ-ю часть мат. физики. Классификация типов проводится в зависимости от св-в значений матрицы старших коэфф-в уравнений. Эта матрица по опред-ю симметричная – собственные значения явл-ся корнями ур-ий, а т. к они еще диагональные – то собственные значения совпадают с элементами главной диагонали. (три случая сзади)1

В указанных трех примерах типы уравнений следующие: 1)-(1,1,0); 2)-(0,3,1); 3)-(3,0,0).

Тип: (m-1,1,0)=(1,m-1,0) – гиперболический тип,

(0,m-1,1)=(m-1,0,1) – параболический тип,

(m,0,0)=(0,m,0) – эллиптический тип.

Ур-ие наз-ся гиперболич-м, если оно не имеет нулевых с. значений, и одно из с. значений отличается по знаку от всех остальных.

Ур-ие наз-ся параболич-м, если только 1 сл. знач-ие =0, а все остальные имеют один и тот же знак.

Ур-ие наз-ся эллиптическим, если все сл. знач-я имеют один и тот же знак, и нет нулевых с. значений.

26)Краевые условия. Задача Коши!

Желая полностью охар-ть физ-й процесс, нельзя ограничиться только ДУ, нужно добавить еще некоторые дополнительные условия, к-ые обычно называют краевыми, или граничными.

Поясним на примере колебания струны:

[0,l] на ОХ, xϵ(0,l), t>0.

Допустим, что при t=0,

струну вывели из равновесия

=> ока колеблется.

Задача состоит из отклонения u от (x, t) в любой момент времени t>0. Функция распределена в области — ∞ прямоугольник.

Ур-ие 2 не содержит никакой информации, как была выведена струна из положения равновесия, закреплены концы струны или нет. Вывести можно ее сообщив ее точкам либо нач. смещение, либо нач скорость, либо и то и другое.

Путь в точке Х сообщено нач. смещение φ0(x) и нач. скорость φ1(x), тогда искомая ф-ция, кроме уравнения 2, должно выполнять условие 5:

Пусть еще известны законы колебания концов струны. Левый конец по з-ну ψ1(t), правый – ψ2(t), тогда к условиям 5 добавляют еще 6:

Если струна ∞, то условие 5 и 6 ставить не надо.

Условие 5 и 6 выполняются на трех частья границы области определения ф-ции u(x,t); поэтому эти условия называются краевыми, или граничными.

Дадим теперь общую форму-ку:

Рассмотрим ур-ие 7 с част-ми производными, где L — некоторый дифф-й оператор. Его решение ищется в области ΩϵRс границей Г-гамма.

(7)…

На всей границе Г, или на ее части, задаются значения одного или нескольких диф-х выражений:

(8)…

(продолжение сзади)1

27)Метод Фурье для решения ур-ия теплопроводности.

Краевые задачи параб-го и гиперб-го типа удобно решать методом разделения переменных.

Рассмотрим краевую задачу для ур-я теплопроводности:

1)

2)

3)

Физ-ки это соответствует след-му:

Дан тонкий теплопроводный стержень с теплоизол-ой боковой пов-тью, концы которого поддерживаются при постоянной, нулевой температуре. Надо найти распред-ие темпер-р по всей длине стержня: u(x,t) – тем-ра, если нач. тем-ра задавалась ф-ей f(x), то решение будем искать в виде произведения двух функций: (4) u(x,t)=X(x)T(t). Поставим это решение в ур-ие 1, получим: x’’T=1/kxT’;

X’’/x=1/k*T’/T=-λ (5). Переменные Х и T разделены. Левая часть не зависит от T, правая – от Х, поэтому эти отношения можно приравнять одному и тому же числу.

{; x(0)=x(l)=0

Итак, в связи с нахождением ф-ции Х(х), мы приходим к простейшей задаче о собственных значениях. Найти все значения параметра λ, при к-рых задача (6) имеет тривиальные решения:

(6);

Не равные 0 такие значения λ наз-ся собственными, а соот-щие им нетривиальные решения х — собственными ф-ями.

28) Решение Даламбера уравнения колебания струны.

29)Предел, непрерывность и аналитичность ф-ции комплексной переменной.

Выражение наз-ся комплексным: z=x+iy,

X=Rez, Y=Imz, x, yϵR.

Комплексносопряженные числа:{,

Z*z=x2+y2.

ПР

Это были алгебраическая форма комплексного числа. Представим в геометрической и тригонометр-й формах:

Z=ρcosφ+iρsinφ=ρ(cosφ+jsinφ) – тригонометрическая форма записи комп-го числа. Эта форма удобна для *, /, и возведения в степень и извлечения корня.

Z1*z2=[z1][z2](cos()+jsin(φ1+φ2)),