Свойства коэффициента корреляции
Если первый компонент отсутствует, то величины X Y наз-ся независимыми. Если второй компонент – функциональная связь. Соотношение м/у этими двумя компонентами определяет силу связи. Важнейшим показателем, оценивающим стахостическую связь, является коэфф-т корреляции.
При изучении св-в дисперсии для независимых сл-х величин дисперсия суммы = сумме дисперсий:
Для независимых: D(x+y)=DX+DY,
Для зависимых: D(x+y)≠DX+DY.
Из этого следует зависимость м/у сл. вел-ми. Обратное вообще говоря неверно. Может быть, что эта раз-ть =0, а зависимость все равно есть. Это означает, что дисперсия суммы сказывается не всякая стахостическая связь м/у слагаемыми.
Опр: Та часть стахост-й связи, к-ая сказывается на отличии дисперсии суммы от суммы дисперсий называется корреляцией.
, знаменатель для того, чтобы p – было безразличным числом.
Св-ва коэфф-а корреляции:
1)для независимых и некорр-х сл. величин ρ=0, 2) -1≤ρ≤1, при этом если ρ>0→связь близка к прямопро-м, если ρ<0, то к обратнопрог-м.
Чем ближе ρ по модулю к 1, тем связь м/у ними близка к функциональной.
Важно понять, что коэфф-т корреляции показывает силу связи, а не указывает на причину зависимости. Может быьт что сила связи обусловлена влиянием каких-то факторов, к-е оказались скрытыми в данном исследовании. Если ρ≠0, то этот коэфф-т хар-т ту часть стахост-й связи, которая наз-ся корр-й. Если ρ=±1, то это означает, что м/у Х и У имеется функцион-я связь.
Недостатки коэфф-а корреляции:
1)Из того, что ρ≠0 не следует зависимость Х и У. 2) ρ=±1 хар-ет не всякую линейную связь.
Вывод: Коэфф-т корреляции является показателем того, насколько связб м/у сл. вел-ми близка к строгой линейной зависимости.
Он одинаково отмечает не слишком большую криволинейность этой связи, но для некоторых широко распространенных сл. величин.
25)Классификация ур-ий с част. производными 2 порядка.
Математ-я физика представляет собой часть общей теории дифф-х уравнений частных производных.
Будем обозначать ч/з х=(х1,х2,….хn) линейные ур-ия 2 порядка от-но неизвестной функции.
U(x1,x2….xn)=U(x). Имеет след вид:
……
f(x)≡0 – то ур-ие однородное,
f(x)≡0 — то ур-ие неоднородное.
Уравнения 2 порядка раздел-я на три группы с помощью группы старших:
1)уравнение колебания струны:
2)уравнение теплопроводности:
3)уравнение Лапласа:
Выясним физич-й смысл этих уравнений.
u(x,t) – смещение струны.
Если вывести струну из равновесия, то каждая ее точка испытывает некоторое смещение u(x, t).
В идеальном случае это смещение удовлетворяет уравнению 2. Здесь А – коэфф-т, зависящий от физ-х св-в струны.
Имеется тело, часть повер-ти кот-го
недогревается. В таком теле возникает
температура поля, при чем темп-ра
меняется и от точки к точке, и от одного момента времени к другому: u=u(t,x,y,z) – эта ф-ция в идеальном случае удовлетворяет ур-ю теплопроводности.
k – коэфф-т, зависящий от св-в тела.
Рассмотрим теперь температурный процесс, установившийся во времени. В случае установившегося темп-го процесса ур-е 3 переходит в ур-е Лапласа.
….
Три приведенные ур-я соот-ют трем различным физ-м задачам, но они различаютя и в матем. плане.
Они яв-ся представителями трех важн-их типов уравнений частных производных:
-гиперболического,
-параболического, — эллиптического.
Изучение этих уравнений и составляет основ-ю часть мат. физики. Классификация типов проводится в зависимости от св-в значений матрицы старших коэфф-в уравнений. Эта матрица по опред-ю симметричная – собственные значения явл-ся корнями ур-ий, а т. к они еще диагональные – то собственные значения совпадают с элементами главной диагонали. (три случая сзади)1
В указанных трех примерах типы уравнений следующие: 1)-(1,1,0); 2)-(0,3,1); 3)-(3,0,0).
Тип: (m-1,1,0)=(1,m-1,0) – гиперболический тип,
(0,m-1,1)=(m-1,0,1) – параболический тип,
(m,0,0)=(0,m,0) – эллиптический тип.
Ур-ие наз-ся гиперболич-м, если оно не имеет нулевых с. значений, и одно из с. значений отличается по знаку от всех остальных.
Ур-ие наз-ся параболич-м, если только 1 сл. знач-ие =0, а все остальные имеют один и тот же знак.
Ур-ие наз-ся эллиптическим, если все сл. знач-я имеют один и тот же знак, и нет нулевых с. значений.
26)Краевые условия. Задача Коши!
Желая полностью охар-ть физ-й процесс, нельзя ограничиться только ДУ, нужно добавить еще некоторые дополнительные условия, к-ые обычно называют краевыми, или граничными.
Поясним на примере колебания струны:
[0,l] на ОХ, xϵ(0,l), t>0.
Допустим, что при t=0,
струну вывели из равновесия
=> ока колеблется.
Задача состоит из отклонения u от (x, t) в любой момент времени t>0. Функция распределена в области — ∞ прямоугольник.
Ур-ие 2 не содержит никакой информации, как была выведена струна из положения равновесия, закреплены концы струны или нет. Вывести можно ее сообщив ее точкам либо нач. смещение, либо нач скорость, либо и то и другое.
Путь в точке Х сообщено нач. смещение φ0(x) и нач. скорость φ1(x), тогда искомая ф-ция, кроме уравнения 2, должно выполнять условие 5:
Пусть еще известны законы колебания концов струны. Левый конец по з-ну ψ1(t), правый – ψ2(t), тогда к условиям 5 добавляют еще 6:
Если струна ∞, то условие 5 и 6 ставить не надо.
Условие 5 и 6 выполняются на трех частья границы области определения ф-ции u(x,t); поэтому эти условия называются краевыми, или граничными.
Дадим теперь общую форму-ку:
Рассмотрим ур-ие 7 с част-ми производными, где L — некоторый дифф-й оператор. Его решение ищется в области ΩϵRс границей Г-гамма.
(7)…
На всей границе Г, или на ее части, задаются значения одного или нескольких диф-х выражений:
(8)…
(продолжение сзади)1
27)Метод Фурье для решения ур-ия теплопроводности.
Краевые задачи параб-го и гиперб-го типа удобно решать методом разделения переменных.
Рассмотрим краевую задачу для ур-я теплопроводности:
1)
2)
3)
Физ-ки это соответствует след-му:
Дан тонкий теплопроводный стержень с теплоизол-ой боковой пов-тью, концы которого поддерживаются при постоянной, нулевой температуре. Надо найти распред-ие темпер-р по всей длине стержня: u(x,t) – тем-ра, если нач. тем-ра задавалась ф-ей f(x), то решение будем искать в виде произведения двух функций: (4) u(x,t)=X(x)T(t). Поставим это решение в ур-ие 1, получим: x’’T=1/kxT’;
X’’/x=1/k*T’/T=-λ (5). Переменные Х и T разделены. Левая часть не зависит от T, правая – от Х, поэтому эти отношения можно приравнять одному и тому же числу.
{; x(0)=x(l)=0
Итак, в связи с нахождением ф-ции Х(х), мы приходим к простейшей задаче о собственных значениях. Найти все значения параметра λ, при к-рых задача (6) имеет тривиальные решения:
(6);
Не равные 0 такие значения λ наз-ся собственными, а соот-щие им нетривиальные решения х — собственными ф-ями.
28) Решение Даламбера уравнения колебания струны.
29)Предел, непрерывность и аналитичность ф-ции комплексной переменной.
Выражение наз-ся комплексным: z=x+iy,
X=Rez, Y=Imz, x, yϵR.
Комплексносопряженные числа:{,
Z*z=x2+y2.
ПР
Это были алгебраическая форма комплексного числа. Представим в геометрической и тригонометр-й формах:
Z=ρcosφ+iρsinφ=ρ(cosφ+jsinφ) – тригонометрическая форма записи комп-го числа. Эта форма удобна для *, /, и возведения в степень и извлечения корня.
Z1*z2=[z1][z2](cos()+jsin(φ1+φ2)),
Узнать стоимость за 15 минут
Распродажа дипломных
Скидка 30% по промокоду Diplom2020
Подпишись на наш паблик в ВК
Нужна работа?
Контрольная работа у наших партнеров