Свойства функции

Свойства функции:

1)  Ф(-х)=-Ф(х) – функция нечетная, поэтому достаточно применять ее для неотрицательных значений х:

Ф(х)=1/

2)  Функция Ф(х) возрастает на всей числовой оси

3)  При х≥4, Ф(х)=0,5

4)  Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях не более чем на некоторое число ε>0:Рn(|m/n-p|<ε)=2Ф(ε*)

32.РАСПРЕДЕЛЕНИЯ «ХИ-КВАДРАТ», СТЬЮДЕНТА И ФИШЕРА-СНЕДЕКОРА.

В качестве меры расхождения между эмпирическими частотами (ni) и теоретическими (ni’) для i(1,m) используют критерий Пирсона.

χ2=(ni-n*pi)2/npi

Дифференциальная функция распределения χ2 с v=n степенями свободы задается формулой:

f(χ2)=1/(2n/2*Г(n/2))* (χ2)(n/2-1)*ex^2/2

где Г(х) – гамма, функция Эйлера.

Г(х)=

Согласно теореме Пирсона при n→∞, статистика χ2 имеет χ2 распределение k=l-r-1.

Пусть Х, Х1, Х2,…,Хk – независимые нормально распределенные СВ с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями. Безразмерная величина t:

t=X/ =X/,

называется дробью Стьюдента.

Дифференциальная функция t-распределения с v=k степенями свободы задается формулой:

f(t)=(Г((k+1)/2))/*(k/2))*(1+t2/k)(k+1)/2

Пусть Х1, Х2,…,Хm и Y1, Y2,…,Yn одинаково распределенные по нормальному закону СВ, являющиеся взаимно независимыми, для которых математическое ожидание равно нулю, а среднеквадратическое отклонение равно единице.
Дробь Фишера:

F(m, n)=(χ2m/m)/(χ2n/n), она имеет F-распределение с ν1=m – числом степеней свободы числителя, и ν2=n – числом степеней свободы знаменателя, которое называется распределением Фишера-Снедекора.

33.МНОГОМЕРНЫЕ СВ.

Многомерной СВ называется набор из n-штук СВ (Х1, Х2,…,Хn)

Т. к. каждая СВ Хi из этого набора есть функция от элементарных исходов, то многомерная СВ Х=(Х1, Х2,…,Хn) также есть функция от элементарных исходов, отображающая множество всех элементарных исходов Ω в множестве наборов Ʀn

Х:ωϵΩ→(Х1, Х2,…,Хn)ϵ Ʀn

Если СВ Х и Y дискретные, то двумерная СВ (х, у) также дискретная.

ЗР двумерной СВ называется множество ее значений и соответствующие вероятности этих значений.

Pij=P(X=xi, Y=yj)

Функция распределения двумерной СВ:
F(x, y)=P(X<x, Y<y)

34.ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СВ.

СВX и Y называются независимыми, если их совместная функция распределения f(x, y)=F1(x)*F2(y), в противном случае зависимые.

35.КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ МОМЕНТ И КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ.

Ковариацией (корреляционным моментом) двух СВX и Y называется математическое ожидание произведения отклонения этих СВ от их математических ожиданий и обозначается: cov(x, y)

Cov(x, y)=M((X-MX)*(Y-MX))

Свойства ковариации:

1)симметричность cov(x, y)=cov(y, x)

2)cov(x, x)=DX

3) Если СВ независимые, то cov(x, y)=0, обратное неверно.

Коэффициентом корреляцииСВX и Y называется число равное r(x, y)=cov(x, y)/Ϭx* Ϭy

Свойства коэффициента корреляции:

1)Для любых 2 дискретных СВX и Y, -1≤r(x, y)≤1

2) Если СВ Х и Y независимы, то r(x, y)=0

3)Если r(x, y)=0, то говорят, что СВ Х и Y не коррелированы, что не означает их независимости вообще; в других случаях СВ называются коррелированными.

36.НЕРАВЕНСТВА МАРКОВА И ЧЕБЫШЕВА.

Неравенство Маркова. Если для СВ Х существует M|X|<+∞, то для любого ε>0 верно неравенство:

Р(|X|≥ε)≤M|X|/ε

Обобщенное неравенство Чебышева. Пусть функция g монотонно возрастает и неотрицательна на полуинтервале [0; +∞), если для СВ Х существует M(g(|X|))<+∞, то для любого ε<0 верно неравенство:

Р(|X|≥ε)≤M(g(|X|))/g(ε)

Неравенство Чебышева. Для СВ Х существует математическое ожидание ее квадрата и оно конечно МХ2<+∞, то для любого Ϭ>0, верно:

Р(|X-MX|)<Ϭ)≤DX/Ϭ2

37.ТЕОРЕМЫ ЧЕБЫШЕВА И БЕРНУЛЛИ.

Теорема (Закон больших чисел в форме Чебышева) – пусть {Xi} – последовательность независимых, одинаково распределенных СВ с а=М(Xi) и конечной дисперсией, тогда СВ Хср=1/n*Xiсходится, при n→∞ в среднем квадратичном по вероятности и почти наверное к математическому ожиданию а.

Замечание. Закон БЧ в форме Чебышева показывает, что при достаточно большом числе измерений некоторых СВ, среднее арифметическое значение этих измерений приближается к математическому ожиданию.

Теорема (ЗБЧ в форме Бернулли).Пусть имеется n-испытаний Бернулли с вероятностью успеха р, вероятностью неудачи q.

k –число успехов этих n-испытаний. Тогда, частота появления в n-испытаниях сходится по вероятности p, т. е. k/n→p, при этом, для любого Ϭ>0 верно неравенство:
P(|k/n-p|)≥Ϭ)≤pq/nϬ2

38.ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА.

Пусть {Xi} – последовательность независимых, одинаково распределенных СВ с а=М(Xi) и конечными дисперсиями D(Xi)=Ϭ2<+∞. Предположим Sn=Xi, Fn=P(Zn<X) – функция распределения СВ Zn=(Sn-a*n)/Ϭ

Тогда закон распределения СВZn при n→+∞, стремится к нормальному распределению.

При выполнении условий ЦПТ получаем:
P(x1≤Sn<x2)=1/2(Ф*((x2-an)/ Ϭ)*Ф*((x2-an)/ Ϭ))

39.ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.

МС – раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений, для выявления существующих закономерностей.

Предметом МС является изучение СВ (случайных явлений). По результатам наблюдений их сначала надо каким-либо образом обработать:
1)упорядочить,

2)оценить хотя бы приблизительно интересующие нас характеристики наблюдаемой СВ,

3)проверка статистических гипотез.

Одной из важнейших задач МС является разработка методов, позволяющих по результатам исследования выборки делать обоснованные выводы по распределению признаков, изучаемых объектов по всей совокупности.

40.ГЕНЕРАЛЬНАЯ И ВЫБОРОЧНАЯ СОВОКУПНОСТИ.

Совокупность всех подлежащих изучению объектов или возможных результатов всех мысленных наблюдений, производимых в неизменных условиях над одним объектом, называется генеральной совокупностью.

Зачастую, проводить сплошное обследование трудно или дорого, а иногда и невозможно, поэтому в этих случаях наилучшим способом исследования является выборочное наблюдение.

Выборкой называют совокупность объектов отобранных случайным образом из генеральной совокупности. Число объектов совокупности называется ее объемом.

Различают 5 основных типов выборок:

1-случайая, 2-типическая, 3-механическая, 4-серийная, 5-комбинированная.

41.ВАРИАЦИОННЫЙ РЯД И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ.

Последовательность вариантов, расположенных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом.

Вариационные ряды бывают дискретными и непрерывными. Дискретным вариационным рядом называется ранжированная последовательность вариантов с соответствующими частотами и (или) частостями.

Вариационные ряды изображают графически с помощью полигона и гистограммы.
Средней арифметическойдискретного ВР называется отношение суммы произведений вариантов на соответствующие частоты к объему совокупности:
Хср=Ʃxini/Ʃni=Ʃxini/n

Модой (Мо’(Х)) ДВР называется вариант, имеющий наибольшую частоту.

Медианой (Ме ‘(Х)) ДВР называется вариант, делящий на две равные части.

42.ТОЧЕЧНОЕ И ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ.

После осуществления выборки возникает задача оценки числовых характеристик генеральной совокупности по элементам выборочной совокупности. Различают точечные и интервальные оценки.
Статистика (функция выборки), используемая в качестве приближенного значения неизвестного параметра генеральной совокупности называется ее точечной оценкой, т. е. точечная оценка это число определяемой по выборке.