Существование и единственность частного

аоb=а+а+…+а

b слагаемых

Положим ао1=а

а*(b+1)=а+а+..+а+а=(а+а+…+а)+а= аоb+а

b+1 раз b раз

аоb= а*b

Замечание. а*1=а а*0=0

Теоретико-мн-венное обоснование:

Пусть имеется b попарно-пересекающихся мн-в, кажд. из к-рых содержит а эл-тов.

А1, А2,…,Аb; n(А1)=n(А2)=…=n(Аb)=a

тогда число эл-тов этих мн-в будет равно

n(А1UА2U…UАb)=n(А1)+n(А2)+…+n(Аb)=а+а+…+а= а*b

Вывод: с теоретико-мн-венной т. зр. произвед-е а и b (натур. чисел), b>1, равно числу эл-тов в объединении b попарно-непересекающихся мн-вах, кажд. из к-рых содержит а эл-тов.

Теорема 2: декартово произведение 2х конечных мн-в н пустых конечно и число эл-тов в декартовом произведении мн-в А и В равно произвед-ю числа эл-тов кажд. мн-ва, т. е. n(АхВ)= n(А)* n(В)

Д-во:Пусть А≠Ø, n(А)=m, B≠Ø, n(В)=k, k>1

Рассмотрим декартово произведение мн-в А и В. Разобьем декартово произвед-е А и В на k попарно-непересекающихся подмн-в.

А1={<x, y1>|xЄA, y1ЄB}

А2={<x, y2>|xЄA, y2ЄB}

Аk={<x, yk>|xЄA, ykЄB}

n(А1)=n(А2)=…=n(Аb)=m

Ai∩Aj=Ø, i≠j, i, j=1,…,k

n(АхВ)= n(А1UА2U…UАk)=n(А1)+n(А2)+…+n(Аk)=m+m+…+m=m*k= n(А)* n(В)

Д-во:

k=1

n(В)=1, В={a}

АхВ={<x, a>| xЄA }, n(АхВ)= n(А) a*1=a

Замечание. Согласно теореме 2 можно дать трактовку (VаЄА) а*0=0

а= n(А), 0= n(Ø), АхØ= Ø, n(Ах Ø)= n(Ø),

n(А)* n(Ø)= n(Ø) а*0=0

Вывод: с др. теоретико-мн-венной т. зр. произвед-е 2х натур. чисел А и В, где а= n(А), b= n(В) равно числу эл-тов в декартовом произвед-ии мн-в А и В.

Теоретико-мн-венная трактовка св-в операций умножения:

1. (Va,b ЄА) а*b= b*а

АхВ≠ВхА

АхВ={<а, b>|аЄA, b ЄB}

ВхА={< b, а>| b ЄB. аЄA}

Всякому эл-ту декартов. произвед-ий А и В единствен. образом можно поставить в соответствие один эл-т < b, а> из декарт. произвед-я мн-в <а, b>, т. к. сущ-ет взаимооднозначн. отображение мн-в АхВ↦ВхА

n(АхВ)=n(ВхА) а*b= b*а

2. (Va,b,с ЄА) (а*b)*с= а*(b*с)

(АхВ)хС≠Ах(ВхС)

(АхВ)хС={<<a, b>,c>|<a, b>ЄАхВ(аЄA, bЄB),cЄC}

Ах(ВхС)= {<a,<b, c>>|аЄA,<b, c>ЄВxC(bЄB, cЄC)}

м/у ними сущ-ет взаимооднозначное отображение, поэтому они равномощны, т. е.

n((АхВ)хС)= n(Ах(ВхС)) (а*b)*с= а*(b*с)

3. (Va,b,с ЄА) (а+b)*с=ас+bc

(АUВ)хС=(АхС) U (ВхС)

Можно подобрать такие мн-ва А, В, С, чтобы мн-ва А и В не пересекались, декарт. произвед-е (АхС)∩ (ВхС) =Ø

n((АUВ)хС)= n((АхС) U (ВхС))

n(АUВ)*n(С)=n(АхС)+n(ВхС)

(n(А)+ n(В))*n(C)= n(А)* n(C)+ n(В) *n(C)

a= n(А), b= n(В), c= n(C)

(a+b)*c= ас+bc

Замечание. Пред-е произвед-я 2х натур. чисел можно обобщить на случай произвед-я k натур. чисел, используя индукцию по числу множителей, т. е. произ-е для k=2 считается опред-ым, предположив, что сущ-ет произвед-е k-множителей, покажем, что произвед-е k+1 – множителей определено

Для произвед-я k-натур. чисел выполн-ся коммутативн., ассоциат. И дистрибут. з-ны умножения.

11. Теоретико-множественный подход к делению целых неотрицательных чисел. Существование и единственность частного. Связь деления с умножением. Деление с остатком.

(Для любых a, bєN), (сущ—ет cєN) c=a:b => a=b·c. (сущ—ет a:b)=> a>b

a=bc = b+b+…+b (с раз). b= n(B), a=n(A)

n(A)=B1UB2U… UBc

Каждое из мн-в равномощны мн-ву B и эти мн-ва попарно непересекающиеся

Согласно определению разбиение мн-ва {В1, В2,…, Вс} разбиение мн-ва А

В этой ситуации число c=a:b определяет число подмн-ва разбиения => с теоретико-множественной точки зрения, операция деления натуральных чисел связана с разбиением мн-ва на попарнонепересекающиеся равномощные подмн-ва.

С действием деления связаны две задачи: 1. Деление на части: требуется узнать сколько элементов содержит каждом подм-ве разбиения. 2) Деление по содержанию: требуется узнать сколько подмножеств в разбиении.

Пр-р: 12 карандашей нужно распределить поровну по трем коробкам. Сколько карандашей будет в каждой коробке?

А – мн-во карандашей n(A)=12

○○○○ ○○○○ ○○○○

B1 B2 B3

По условию задачи мн-во А требуется разделить на 3 попарнонепересекающиеся подмн-ва. Поэтому в задачи идет речь о деление на части, поскольку треб-ся определить число элементов в каждом подмн-ве разбиения => задача реш-ся действием деления 12:3=4= n(Вi), i=1, 2, 3

Пр-р: 12 карандашей нужно распределить в коробки по три карандаша в каждую. Сколько нужно коробок?

| | | | | | | | | | | | n(A)=12

В1 В2 В3 В4

По условию задачи мн-во А требуется разделить на 3 попарнонепересекающиеся подмн-ва, каждый из кот-ых содержит по 3 элемента. Поэтому в задачи идет речь о деление по содержанию, поскольку треб-ся определить число подмножеств в таком разбиения => задача реш-ся действием деления 12:3=4= n(Вi), i=1, 2, 3

Теоретико-множественное обоснование правил деления.

1. Правило деления суммы на число.

(a+b):c=a:c+b:c

a=n(A), b=n(B), A∩B=Ø

разобьем объединение А и В на попарнонепересекающиеся подмн-ва.

| | …..| | |…. |

А В

n(A)=a; n(B)=b

А=UU…U; n()=c=>k=a:с;

B=UU…U n()=c=>m=b:c

n(AUB)=a+b=n(U…UU…U)=n()×(k+m)=c×(k+m)

a+b= c×(k+m) =>k+m=(a+b):с=>а:с+b:с=(a+b):с

2. Деление произведение на число

(a·b):c=(a:c)b ab=a+a+…+a (b раз)

n(Ai) =a i=1,…,b Ai∩Aj =Ø i≠j

n(A1UA2U … UAb) = ab

A= A1UA2U … UAb

Каждое из мн-в A1, A2, …, Ab разобьем на с равночисленных подмн-в, каждое из кот-х содержит a·:c элементов. Тогда всего элементов в объединении мн-ва А будет: a:c+a:c+…+ a:c (b раз)

3. Деление разности на число

(a—b):c=a:c—b:c

A, В, АсВ; АВ

n(A)=a; n(B)=b

А=UU…U; n()=c=>k=a:с;

B=UU…U n()=c=>m=b:c