Сумма положительных действительных чисел

% М= R+{5} х=(0,5) , у=(5; &)

Для мн-в Х и У в М не сущ-ет ни одного разделительного числа М не явл. непрерывным.

Операции в R.

·  х, у э R+ , х= n, n1n2… nk…, у = m1m2 …mk … х и у наз. число, разделяющее мн-во {хk+уk}и{хk’+уk’}, где хk и уk – десятичное приближение по недостатку, а х k’ и у k’ – по избытку чисел х и у соот-но.

Теор. Сумма положительных действит-х чисел сущ. и ед.

¨  Сущ. следует из св-ва непрерыв. с R+

хk> хk’ |

уk> уk’ (k э N) | хk+уk< хk’+уk’ , ( люб.k э N)

Мн-во {хk+уk}и{хk’+уk’} сущ. число, разделяющее эти мн-ва.

Ед. выходит за рамки программы.

Теор. Сложение положит. действит. чисел коммуникативно и ассоц-но, т. е. люб. а, в,с э R+ 1. а+в=в+а 2. а+(в+а)=(а+в)+с

¨  Коммунк-ть: а+в-раздел. для мн-в {аk+вk}и{аk’+вk’}; в+а–для {вk+аk}и {вk’+аk’}

Для рац-х чисел коммун-ть слож-я док-на, значит аk+вk=вk+аk

аk’+вk’= вk’+ аk’ , т. е. а+в и в+а явл. раздел. для одних и тех же мн-в, а в силу ед-ти суммы а+в=в+а. (ассоц-ть док-ся аналог-но)

·  Разностью положит. действит. чисел х и у наз. такое Zч, что х = у+z

·  Произведением действит. чисел х и у наз. число, разделяющее мн-во {аkвk} —по недост. и{аk’вk’} – по избытку чисел х и у соот-но.

Теор. Произведение положит. действит. чисел сущ. и ед.

Теор. Умнож-е положит. действит. чисел коммун-но, ассоц-но и дистрибутивно относит-но сложения, т. е. а, в,с э R+ : 1. ав=ва ; 2. а(вс)=(ав)с ; 3. а(в+с)=ав+ас

·  Частным положит. действит. чисел х и у наз. такое Zч, что х = уz

·  Пусть х э R+. Числа вида – х, где х э R+ наз. отрицательными действит-ыми числами. Их обознач. R —_

·  Назовём множеством действит. чисел R= R —_ U {0} U R+

R —_, {0}, R+ —попарно не пересек-ся.

·  Числа х и – х наз. противоположными.

Считается, что – (– х)= х. Нуль противоположен самому себе. Противополож. числа на координ. прямой изображ-ся точками симметричными относительно началу отсчёта.

·  Модулем числа х наз. расстояние от точки, изображающей это число, до начала отсчёта: |а|= а, если а>0, — а, если а<0

18. Длина отрезка. Св-ва этой величины. Измерение длниы отрезка. Ед-цы длины

Рассмотрим аксеоматику полож-х величин, к-ая была предложена академиком Колмогоровым А. Н.

¨  Положит-ой скаляр-ой величиной (ПСВ) наз-ся любой эл-т мн-ва G положит-х однород-х скаляр-х величин, на к-ом заданы отнош-я сравнения (>,=,<) и операция слож-я, удовл-щие след. условиям:

1.  (Vа, в Є G) (а<вVа=вVа>в)-аксиома связанности

2.  (Vа, в,с Є G) (а<вΛв<с=>а<с) транзитивность отнош-я <

3.  (Vа, в Є G) (E! с Є G │а+в=с) существование сумм величин

4.  (Vа, в Є G) (а+в=в+а) коммунитативность сложения

5.  (Vа, в,с Є G) (а+(в+с)=(а+в)+с) ассоциативность сложения

6.  (Vа, в Є G) (а<а+в) монотонность сложения

7.  (Vа, в Є G) (а>в=> E! с Є G│а=в+с) возможность сложения

8.  (Vа Є G) (Vn ЄN) (Eв Є G │а=nв) возможность деления на целое число долей

9.  (Vа, в Є G) (En ЄN) (а<nв) аксиома Евклида (Архимеда)

10.  Если послед-ть величин а1<а2<…<аn<…<вn<…<в2<в1 такова, что разностьи вn-аn бесконечно убывают при увеличении n, то найдётся удинственный эл-т х ЄG, удовл-щий условию аn< х <вn, Vn ЄN –аксиома непрерывности

¨  Если а, в Є G, то величины а, в наз-ся однородными, в противном случае неоднородными и для них не определены отнош-я сравнения и операция слож-я. Для того, чтобы показать, что та или иная величина явл-ся ПСВ необх-мо убедиться, что она удовл-ет опред-ю ПСВ, т. е., что она удовл-ет всем 10-ти аксиомам этого опред-я.

Длина отрезка.

Рассмотрим мн-во всех отр-ков плоскости. На этом мн-ве введём отнош-е обычного рав-ва отр-ков. Данное отнош-е явл-ся отнош-ем эквивл-ти, т. к. оно рефлексивно (каждый эл-т мн-ва наход-ся в отнош-ии сам с собой, т. е. каждый отр-ок равен самому себе), симметрично (а=в=> в=а), транзитивно (если а=в и в=с=>а=с). Т. к. отнош-е рав-ва отр-ков явл-ся отнош-ем эквивал-ти, то оно разбивает мн-во всех отр-ов плоскости на классы равных отр-ков.

Будем обозначать классы отр-ов равных отр.а Ка, а мн-во всех таких классов {Ка}.

¨  Будем говорить, что отр.а разбит на отрезки а1, а2, …,аn (или состоит из этих отр.), если отр.а представляет собой объед-е этих отр-ов. Причём никакие 2 из них не имеют общих внутренних точек (не налегают др. на др.), хотя могут иметь общие концы. При этом отр.а наз-ся суммой отр-ков а1, а2, …,аn :а=а1+а2+…+аn=∑n k-1 аk

¨  Суммой классов Ка, Кв наз-ся класс Кс равных отр-ку с отр-ков, такому, что а=в+с, т. е. Ка+Кв = Кс ↔ а+в=с

Предложение: Сумма любых двух мн-в Ка, Кв сущ-ет и ед-на.

Из опред-я суммы отр-ов=>что(Vа, в) (Ес=а+в) => (ЕКс=Ка+Кв)

Очевидно, что а+в=с однозначно определяет класс равных отр-ков Кс.

Некот-ые св-ва слож-я во мн-ве {Ка}.

10. (V Ка,Кв)( Ка+Кв = Кв+Ка)

Из коммуникат-ти объед-я мн-в=>коммут-ть слож-я отр-ов, т. е. а+в = с=в+а(1) Тогда

учитывая рав-во (1)… Ка+Кв =Кс, Кс= Кв+Ка │=> Ка+Кв = Кв+Ка

20. (V Ка,Кв,Кс)( Ка+(Кв+Кс)= (Ка +Кв)+Кс) – док-ся аналог.

¨  Будем говорить, что отр.а>в, если найдётся такой отр.с, что а+в=с.

¨  Будем говорить, что Ка>Кв, если аналог-ыми равенствами выпол-ся для отр. а и в, т. е. Ка> Кв↔ а>в

Св-ва отнош-й сравнения во мн-ве {Ка}.

10. (V Ка,Кв)( Ка<Кв V Ка=Кв V Ка>Кв) — связанности

=>из последнего опред-я и из того, что св-во связанности справедливо для отр-ков.

ЗАЧЕРКНУТЫЕ СИМВОЛЫ ЭТО ОТРИЦАНИЕ, Т. Е. СВЕРХУ БУДЕТ ЧЕРТОЧКА!!

20. (V Ка) (Ка<Кв) –антирефлекивности =>из того, что (V Ка)(а<а)

Пусть Ка<Кв=>а<в=> (Ес│а=в+с)

Предположим, что Кв<Ка => в<а => (Еd│в=а+d) =>в=(в+d)+с –неверное нерав-вопредполож-е неверно и, если Ка<Кв, то неверно, что Кв<Ка.

40. (V Ка,Кв,Кс)( Ка<Кв Λ Кв<Кс) – транзитивности

Справедливость=>из тог, что отнош-е "<" транзитивно на мн-ве отр-ков.

Из всех св-в =>, что отнош-е "<", заданное на мн-ве классов равных отр-ков явл-ся отнош-ем строгого линейного порядка.

Для того, чтобы показать, что длина отр. явл-ся ПСВ, надо убедиться в том, что она удовл-ет всем 10 аксиомам опред-я ПСВ. Из доказанного Предложения и рассмотренных св-в операций слож-я и сравнения =>, что первые 5 аксиом опред-я выполняются. Проверим выполнимость остальных:

А.6. (VКа, Кв Є G) (Ка<Ка+Кв)

Из опред-я отнош-я "<", заданного на мн-ве классов равных отр-ов=>, что Ка<Ка+Кв↔а<а+в. Последнее нерав-во верно, т. к. найдётся отр-к в, что а+в=в+а=>аксиома выпол.

А.7. (VКа, КвЄG) (Ка<Кв=>E! КсЄG│Ка=Кв+Кс) выполн-тьиз опред-я отнош-й срав-я

А.8. (V Ка ЄG) (V n ЄN) (E Кв ЄG │Ка=nКв)

Предположим, что эта аксиома не выпол-ся. Это значит, что (VКа, Кв) (V nЄN) (Ка<nКв V Ка>nКв)(2) n может принимать различные N-ые значения, в т. ч. м. б. n=1

получаем: (VКа, Кв) (Ка<Кв V Ка>Кв)(3)

Однако мн-во отр-ов обладает св-вом связанности, т. е. (Vа) на плоскости (E в│а=в) => Ка=Кв, что противоречит условиям (2)… и …(3)=>выпол-ся

А.8.

А.9. (VКа, Кв Є G) (En ЄN) (Ка<nКв) выпол-ть =>из выполнимости её во мн-ве отр-ков.

А.10. применим без док-ва.

Т.о. длина отр-ка явл-ся ПСВ, т. к.удовл-ет всем аксиомам опрде-я ПСВ.

Назовём каждый класс {Ка} длиной отр-ка а. О любых двух отр-ax а и в Є одному классу будем говорить, что они имеют равные длины. Во мн-ве всех отр-ов выберем некоторый отр-ок е и назовём его ед-ым отр-ом или ед-цей измер-я длины.

¨  Число L наз-ся мерой отр. а , единич-ым отр-ом е или длиной отр-ка а при единице длины е, если а=Le =>m еа=L.

Стандартной ед-цей длины явл-ся 1 м. В нач. шк. использ-ся некот-ые ед-цы длины являющ-ся производными от метра.

Теор. При данной ед-це измер-я мера величины сущ. и опред-ся однозначно.

Сущ. Пусть e – ед-ца измер-я величин а, тогда по аксиоме Евклида Е n ЄN│а< ne.

Из мн-ва всех таких чисел выберем наименьшее. (n-1)•e≤а< ne (4)в противном случае число n не будет наименьшим. Если а=(n-1)e, то meа=n-1 и сущест-е меры очевидно.

Если а>(n-1)e (n-1=n1), то по аксиоме 7 найдётся величина в ЄG, такая, что а=n1е+в, при этом в<е (в противном случае, если в>е, то в=е+d, тогда а=n1е+в=n1е+(е+d)=(n1+1)е+d= nе+d=>а>nе, что противоречит условию.

По аксиоме 8 для величины е и числа 10 найдётся такая величина е1, что е=10е1

Очевидно, что переход ед-цы измерения е1 означает переход к ед-це в 10 раз меньше. Т. к. в < е, то в<10е1. Применим аксиому Евклида для величин в и е1 и найдём наименьшее число m такое, что в<mе1, m1<10

(m-1)е1≤в<mе1 прибавим n1е ко всем частям n1е+(m-1)е1≤ n1е+в< n1е+mе1

учитывая, n1е+в=а и n1=n-1, получим (n-1)е+(m-1)е1≤а<(n-1)е+mе1 Учтём, что е=10е1,

получим (n-1)10е1+(m-1)е1≤а<(n-1)10е1+mе1 => (10n+m-11)е1≤ а<(10n+m-10)е1(5)

Если в>(m-1)е1, то по аксиоме 7 найдётся величина сЄG, что в=(m-1)е1+с далее аналог.

Для величины с проведём рассужд-я аналог-ые тем, к-ые были проведены для величины в. Продолжая этот процесс будем получать цепочку нерав-в аналог-х нерав-вам (4)… и (5)…, причём каждое следующее из этих неарав-в более точно оценивает величину а ,чем предыдущие. Разность величин, оценивающих а в нерав-ве (4)… =е. Аналог-ая разность для нерав-ва (5)…=е1.

Если рассмотреть левые и правые части этих нерав-в, то мы получим послед-ть величин, к-ая упомин-ся в аксиоме 10 опред-я ПСВ. Согласно этой аксиоме а-ед-ая величина, для к-ой справедливы все эти нерав-ва. При этом левые и правые части нерав-в представляют собой приближ-е по недостатку и избытку соответ-ной меры величины а с некот-ой степенью точности. При этом (Е! LЄR+), к-ое опред-ся всеми этими приближениями. Т.о. данный процесс обеспеч-ет наличие меры у данной величины а при ед-це измерения е.

Ед-ть. Вытекает из аксиом опред-я, обеспеч-щих однозначность данного процесса.

30. (V Ка,Кв)( Ка<Кв=> Кв

19. Стоимость и цена товара как полож-ые скаляр-ые величины. Зависимость м/д ценой, стоимостью и колич-вом товара.

Стоимость.

Для опред-я величины "стоимость" воспользуемся опред-ем СПВ. Пусть G –мн-во всевозможных товаров.

A1Будем говорить, что товар t1~t2, если при куп-прод. один из них м. обменять на др.

Данное отнош-е действит-но явл-ся отнош-ем эквив-ти, т. к. рефлекс-но, симметр-но и транзит-но=>оно разбивает мн-во всех товаров на классы эквивал-х товаров.

К Т-мн-во всех товаров эквивал-х t, т. е. t1~t2, то К Т1~ К Т2

М={К Т} –мн-во всех классов эквив-х товаров.

A2Будем говорить, что К Т1=сумме классов К Т2+К Т3, если при купле-продаже любой товар из К Т1 м. обменять на два товара, один из к-х Є К Т2, другой — К Т3 вместе.

A3Будем говорить, что К Т1<К Т2, если (Е К Т3) ( К Т2=К Т1+К Т3)

Чтобы показать, что стоимость явл-ся ПСВ нужно убедиться в выполним-ти всех аксиом опред-я ПСВ.

Утверждение первой акономы определения (cвойства cвязанности заключается в данном случае в том, что любые два товара либо эквивалентны (т. е.один из них обменивается на другой) либо один. из них меньше другого (т. е.найдется товар, который вместе о одним из данных обменивается на другой).Очевидна выполнимость свойств коммутативности и ассоциативнос­ти сложения.

Транзитивность отношения "меньше" выполняется, т. к.если К Т1<К Т2=> (Е КS), К Т2= К Т1+ КS и К

Т2<К Т3=> (Е КR), К Т3= К Т2+ КR=> К Т3= (К Т1+ КS)+ КR=а/з К Т1+ (КS+ КR) => К Т1<К Т3

Аксиома о существовании суммы выполняется, т. к.во множестве всех товаров обязательно найдется товар, который можно" обменять при .купле-продажи на два данных товара вместе. По аналогичной причине обеспечивается и возможность вычитания. Не вызывает сомнения и выполнимость свойства монотонности сложения. ,Аксиома о возможности деления на целое число долей тоже, очевидна, выполняется, поскольку для данного товара и данного натурального числа n всегда во множестве всевозможных товаров можно найти такой, что данный товар при купле-продаже будет об­мениваться на n — таких товаров.

Аксиома Архимеда выполняется на том основании, что для двух данных товаров всегда найдется натуральное число n такое, что один из данных товаров окажется меньшим n— товаров другого вида Рассуждая аналогично, можно убедиться й в выполнимости аксиомы непрерывности.

Замечание: приведённые рассужд-я не явл-ся строгим док-вом выполним-ти аксиом опред-я ПСВ. Т. о. мн-во М={КТ} явл-ся мн-вом ПСВ.

Назовём каждый класс КТ стоимостью товара t. О двух товарах Є-щих одному классу КТ будем говорить, что они имеют одинаковые стоимости. Во мн-ве всех товаров выберем некот-ый товар е, стоим-ть к-го назовём единичной, или единицей стоимости.

Назовём число L стоимостью товара t при ед-це стоимости е, если t=Lе. При этом mеt=L.

В разных странах ед-цы стоимости разные. Большее знач-е имеют наиболее стабильные мировые валюты (доллар, евро).В России ед-цей стоимости явл-ся 1 руб. и его производ=ые 1 коп. Цена

Ввод-ся аналог-но стоимости ед-цы товара. Рассмотрим два вида товаров t1 и t2, причём для каждого из них определена ед-ца товаров.

¨  Назовём товары t1 и t2 эквивал-ыми, если ед-цы товаров t1 и t2 имеют одинак-ю стоимость.

Мн-во товаров эквив-х товару t в силу последнего опред-я обозначим КТ и при этом мн-во всех товаров разобьётся на классы эквив-х товаров.

¨  Будем говорить, что КТ1<КТ2, если стоимость ед-цы любого товара из КТ1< стоимости ед-цы любого товара из К Т2.

¨  Класс КТ1 назовём суммой классов КТ2+КТ3 (КТ1=КТ2+ КТ3), если стоимость ед-цы любого товара из КТ1 = сумме стоимостей ед-ц двух товаров, один из к-х из КТ2, др — из КТ3.