Контрольные по математике | Структура теста по дифурам | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Структура теста по дифурам


Структура теста по дифурам

1. Среди записанных ниже дифференциальных уравнений уравнениями первого порядка

 не  являются …

— уравнения, где есть производные больше первого порядка

2. Дифференциальное уравнение  является …

1) однородным? Нет, для однородности надо, чтобы такая замена приводила к исходному уравнению

2) линейным уравнением относительно  функции  и ее производных? В линейном уравнении нет квадратов от искомой функции

3) уравнением с разделяющимися переменными? Попробуем перенести и разделить:

— Да, с разделяющимися

4) уравнением Бернулли? Нет, общий вид не подходит

3. Общее решение дифференциального уравнения может быть записано в виде  …

Замечаем, что переменные легко разделяются – решаем:

Подходит вариант 2

4. С помощью замены неизвестной функции уравнение сводится к следующему уравнению с разделяющимися переменными  относительно функции :  …

Подставляем, проверяем:

Подходит вариант 2

5. С помощью замены неизвестной функции однородное уравнение сводится к следующему уравнению с разделяющимися переменными  …

Аналогично:

Подходит вариант 3

6. Среди указанных ниже функций интегрирующим множителем для дифференциального уравнения является  …

Вспомним, что не все выражения вида можно привести к полному дифференциалу. А только если выполнено условие Эйлера: . Если же оно не выполняется, то всё уравнение домножается на интегрирующий множитель , такой, чтобы условие стало выполняться

3)

Условие выполнено – подходит

7. Применяя метод вариации постоянной, общее решение линейного уравнения   следует искать в виде …

Это линейное уравнение, неоднородное. Поэтому решим сначала однородное:

Подходит вариант 4

8. Уравнение Бернулли приводится к линейному относительно  функции и ее производной  путем замены  …  

Итак, есть уравнение Бернулли в общем виде . Делим его на :

Делаем замену , попутно замечая, что , после чего уравнение переписывается уже как линейное

Здесь , значит подходит замена , вариант 1

9. Задача Коши для уравнения четвертого порядка  может быть поставлена заданием …

— порядок уравнения четвёртый – должно быть 4 условия

— все условия должны быть поставлены в одной и той же точке

Подходит вариант 3

10. Наибольшим промежутком, на котором теорема существования и единственности решения задачи Коши гарантирует существование и единственность решения задачи , рассматриваемой при  – замкнутый прямоугольник, является промежуток …

Обозначим — половинную ширину прямоугольника, — половинную высоту.

Вычислим максимум правой части в области

Получим значение

Тогда, по теореме Пикара, задача Коши на промежутке имеет единственное решение – вариант 2

11. В точке  значение функции , являющейся решением задачи Коши

равно …

Решим:

Подставим начальное условие:

– решение задачи Коши

– ответ

12. В точке  значение функции , являющейся решением задачи Коши

равно …

Это линейное неоднородное уравнение, решаем сначала однородное:

Чтобы получить решение исходного уравнения, надо к полученному решению однородного добавить какое-нибудь частное решение (например )

Находим коэффициенты:

— подходит вариант 1

13. Модуль определителя Вронского системы вектор-функций 

 равен …

Составляем из столбцов матрицу – это и есть, в данном случае, матрица Вронского. Считаем модуль её определителя:

вариант ответа 1

14. Фундаментальная система решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений

может быть записана в виде …

Выпишем матрицу коэффициентов перед и :

Найдём собственные числа из уравнения :

Итак, вид общего решения следующий:

, причём здесь только 2 независимых коэффициента

Отметаем вариант 1 – не подходит по виду решения

Заметим, что в ответах различаются все , имеет смысл найти собственный вектор для :

— искомый вектор, значит подходит вариант 2

15. Частное решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений

следует искать в виде …

Достаточно взглянуть на вид частного решения в ответах. А надо, чтобы оно удовлетворяло

(1)

Заметим, что в третьем варианте, при подстановке частного решения в систему (1), в иксах появятся , причём можно занулить , меняя коэффициенты и . А в игреках получим ноль. Поэтому 3 вариант есть правильный

16. Компонента  решения задачи Коши

равна …

Решаем:

Находим собственные вектора:

— вектор

— вектор

Теперь решение перепишется таким образом:

Подставим начальные условия:

— вариант ответа 1

17. Модуль определителя Вронского системы функций равен  …

— вариант 4

18. Среди функций , являющихся решениями дифференциального уравнения  на отрезке , линейно независимые системы образуют …

Из задачи 17 получили, что функции 1 и 2 линейно независимы (Вронскиан 0). Легко проверить линейную независимость 1 и 3, а также 2 и 3. Значит, все они линейно независимы – вариант 1

19. Характеристический многочлен , соответствующий однородному дифференциальному уравнению , имеет вид …

— Какой порядок производной слагаемого в исходном уравнении, такой порядок степени в характеристическом

Подходит вариант 4

20. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения  может быть записано в виде …

Характеристическое уравнение:

Есть комплексные корни – косинус и синус появятся в решении, причём аргумента — вариант 1

21. Частное решение  дифференциального уравнения следует искать в виде …

— если в правой части есть косинус, то правильно подразумевать в решении и синус (для общности)

— если аргумент , то и в решении будет такой же

— если есть экспонента, но в решении она никуда не денется

Правильный вариант 3

22. Применяя метод вариации постоянных, решение неоднородного дифференциального уравнения  следует искать в виде , где функции  определяются путем решения системы …

Составляются два уравнения:

, где — правая часть, — множитель при старшей производной

— подходит вариант 4

23. Укажите недостающую часть определения
Стационарное решение  задачи Коши
, устойчиво по Ляпунову, если … : что для  такого, что , для  – решение задачи такое, что .

Со словами «во всех подобных определениях именно такой порядок кванторов» выбираем вариант 3

24. Из теоремы об устойчивости по первому приближению следует асимптотическая устойчивость по Ляпунову нулевого решения задачи Коши для системы …

Первое приближение – отбрасываем всё, что выше первой степени. Асимптотическая устойчивость – оба собственные числа отрицательны (вернее их действительные части)

Подходит вариант 4

25. Качественное поведение траекторий на фазовой плоскости (фазовый портрет) для системы уравнений 

имеет вид …

Тут, как и в 24м задании, переменные уже разделены, и коэффициенты соответствуют собственным числам. Оба положительные – точки должны разбегаться из центра по обеим координатам, что похоже на вариант 2

Кстати, круговые, эллипсоидные графики говорят о наличии косинуса/синуса и комплексных собственных значениях.

26. Точка покоя системы уравнений

является …

В 25м задании выяснили неустойчивость. Правильный вариант 1

27. Характеристиками уравнения

является семейство кривых  …. ,  где  –  произвольная  постоянная.

Записывается тройное неравенство:

и далее

Подходит вариант 2

28. Система для характеристик квазилинейного уравнения 

имеет вид  …

Не забываем переносить все слагаемые в одну часть уравнения!

Теперь запишем тройное равенство:

— это и есть вариант 4

31. Функция , являющаяся решением задачи Коши ,
принимает в точке (-1; 7) значение…

Запишем тройное равенство:

— нашли характеристику

Значит , подставим в него условие:

— ответ

32. Функция , являющаяся решением задачи Коши

,
,
принимает в точке (-1;1) значение …

Запишем тройное равенство:

нашли характеристику, возьмём

Значит , подставим в него условие:

— ответ

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод