Контрольные по математике | Структура теста по дифурам

Структура теста по дифурам

1. Среди записанных ниже дифференциальных уравнений уравнениями первого порядка

не являются …

— уравнения, где есть производные больше первого порядка

2. Дифференциальное уравнение является …

1) однородным? Нет, для однородности надо, чтобы такая замена приводила к исходному уравнению

2) линейным уравнением относительно функции и ее производных? В линейном уравнении нет квадратов от искомой функции

3) уравнением с разделяющимися переменными? Попробуем перенести и разделить:

— Да, с разделяющимися

4) уравнением Бернулли? Нет, общий вид не подходит

3. Общее решение дифференциального уравнения может быть записано в виде …

Замечаем, что переменные легко разделяются – решаем:

Подходит вариант 2

4. С помощью замены неизвестной функции уравнение сводится к следующему уравнению с разделяющимися переменными относительно функции : …

Подставляем, проверяем:

Подходит вариант 2

5. С помощью замены неизвестной функции однородное уравнение сводится к следующему уравнению с разделяющимися переменными …

Аналогично:

Подходит вариант 3

6. Среди указанных ниже функций интегрирующим множителем для дифференциального уравнения является …

Вспомним, что не все выражения вида можно привести к полному дифференциалу. А только если выполнено условие Эйлера: . Если же оно не выполняется, то всё уравнение домножается на интегрирующий множитель , такой, чтобы условие стало выполняться

3)

Условие выполнено – подходит

7. Применяя метод вариации постоянной, общее решение линейного уравнения   следует искать в виде …

Это линейное уравнение, неоднородное. Поэтому решим сначала однородное:

Подходит вариант 4

8. Уравнение Бернулли приводится к линейному относительно функции и ее производной путем замены …

Итак, есть уравнение Бернулли в общем виде . Делим его на :

Делаем замену , попутно замечая, что , после чего уравнение переписывается уже как линейное

Здесь , значит подходит замена , вариант 1

9. Задача Коши для уравнения четвертого порядка  может быть поставлена заданием …

— порядок уравнения четвёртый – должно быть 4 условия

— все условия должны быть поставлены в одной и той же точке

Подходит вариант 3

10. Наибольшим промежутком, на котором теорема существования и единственности решения задачи Коши гарантирует существование и единственность решения задачи , рассматриваемой при – замкнутый прямоугольник, является промежуток …

Обозначим — половинную ширину прямоугольника, — половинную высоту.

Вычислим максимум правой части в области

Получим значение

Тогда, по теореме Пикара, задача Коши на промежутке имеет единственное решение – вариант 2

11. В точке  значение функции , являющейся решением задачи Коши

равно …

Решим:

Подставим начальное условие:

– решение задачи Коши

– ответ

12. В точке  значение функции , являющейся решением задачи Коши

равно …

Это линейное неоднородное уравнение, решаем сначала однородное:

Чтобы получить решение исходного уравнения, надо к полученному решению однородного добавить какое-нибудь частное решение (например )

Находим коэффициенты:

— подходит вариант 1

13. Модуль определителя Вронского системы вектор-функций

равен …

Составляем из столбцов матрицу – это и есть, в данном случае, матрица Вронского. Считаем модуль её определителя:

— вариант ответа 1

14. Фундаментальная система решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений

может быть записана в виде …

Выпишем матрицу коэффициентов перед и :

Найдём собственные числа из уравнения :

Итак, вид общего решения следующий:

, причём здесь только 2 независимых коэффициента

Отметаем вариант 1 – не подходит по виду решения

Заметим, что в ответах различаются все , имеет смысл найти собственный вектор для :

— искомый вектор, значит подходит вариант 2

15. Частное решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений

следует искать в виде …

Достаточно взглянуть на вид частного решения в ответах. А надо, чтобы оно удовлетворяло

(1)

Заметим, что в третьем варианте, при подстановке частного решения в систему (1), в иксах появятся , причём можно занулить , меняя коэффициенты и . А в игреках получим ноль. Поэтому 3 вариант есть правильный

16. Компонента  решения задачи Коши

равна …

Решаем:

Находим собственные вектора:

— вектор

— вектор

Теперь решение перепишется таким образом:

Подставим начальные условия:

— вариант ответа 1

17. Модуль определителя Вронского системы функций равен …

— вариант 4

18. Среди функций , являющихся решениями дифференциального уравнения  на отрезке , линейно независимые системы образуют …

Из задачи 17 получили, что функции 1 и 2 линейно независимы (Вронскиан 0). Легко проверить линейную независимость 1 и 3, а также 2 и 3. Значит, все они линейно независимы – вариант 1

19. Характеристический многочлен , соответствующий однородному дифференциальному уравнению , имеет вид …

— Какой порядок производной слагаемого в исходном уравнении, такой порядок степени в характеристическом

Подходит вариант 4

20. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения  может быть записано в виде …

Характеристическое уравнение:

Есть комплексные корни – косинус и синус появятся в решении, причём аргумента — вариант 1

21. Частное решение  дифференциального уравнения следует искать в виде …

— если в правой части есть косинус, то правильно подразумевать в решении и синус (для общности)

— если аргумент , то и в решении будет такой же

— если есть экспонента, но в решении она никуда не денется

Правильный вариант 3

22. Применяя метод вариации постоянных, решение неоднородного дифференциального уравнения  следует искать в виде , где функции  определяются путем решения системы …

Составляются два уравнения:

, где — правая часть, — множитель при старшей производной

— подходит вариант 4

23. Укажите недостающую часть определения
Стационарное решение  задачи Коши
, устойчиво по Ляпунову, если … : что для  такого, что , для  – решение задачи такое, что .

Со словами «во всех подобных определениях именно такой порядок кванторов» выбираем вариант 3

24. Из теоремы об устойчивости по первому приближению следует асимптотическая устойчивость по Ляпунову нулевого решения задачи Коши для системы …

Первое приближение – отбрасываем всё, что выше первой степени. Асимптотическая устойчивость – оба собственные числа отрицательны (вернее их действительные части)

Подходит вариант 4

25. Качественное поведение траекторий на фазовой плоскости (фазовый портрет) для системы уравнений

имеет вид …

Тут, как и в 24м задании, переменные уже разделены, и коэффициенты соответствуют собственным числам. Оба положительные – точки должны разбегаться из центра по обеим координатам, что похоже на вариант 2

Кстати, круговые, эллипсоидные графики говорят о наличии косинуса/синуса и комплексных собственных значениях.

26. Точка покоя системы уравнений

является …

В 25м задании выяснили неустойчивость. Правильный вариант 1

27. Характеристиками уравнения

является семейство кривых …. , где  – произвольная постоянная.

Записывается тройное неравенство:

и далее

Подходит вариант 2

28. Система для характеристик квазилинейного уравнения

имеет вид …

Не забываем переносить все слагаемые в одну часть уравнения!

Теперь запишем тройное равенство:

— это и есть вариант 4

31. Функция , являющаяся решением задачи Коши ,
принимает в точке (-1; 7) значение…

Запишем тройное равенство:

— нашли характеристику

Значит , подставим в него условие:

— ответ

32. Функция , являющаяся решением задачи Коши

,
,
принимает в точке (-1;1) значение …

Запишем тройное равенство:

нашли характеристику, возьмём

Значит , подставим в него условие:

— ответ

Структура теста по дифурам

Наташа

Узнать стоимость за 15 минут

Распродажа дипломных

Подпишись на наш паблик в ВК

Нужна работа?