Структура общего решения лнду

(7.12)

Здесь возникли следующие случаи

ФОКУС

= Pp<0 q0

p<0

Второй множитель ограничен

p=0 — траекторией замкнутых кривых

(p<0)

Превращающееся замкнутые кривые в спирали асемптатично приближены к началу координат

Фокус отличается от узла тем, что касательные к траектории не стремятся ни к какому приделу при t∞

ЦЕНТР

= Pp0

q0

Этот случай переходит в предыдущий при замене tна –t

Поэтому траектории те же но движение в другую сторону

Точка покоя не устойчива — не устойчивый фокус

Траектория – замкнутые кривые, содержащие внутри себя точку покоя называется центром рисунка (7.4)

Она устойчива, но асимптатичной устойчивости нету

Линейные неоднородные уравнения. Отыскание частного решения методом вариации произвольных постоянных.

Структура общего решения ЛНДУ 2-го порядка :

y’’ + (x) y’ +(x) y = f (x) (5.1) — ЛНДУ

(x) , (x) С (a, b) — непрерывная функция

y’’ + (x) y’ +(x) y = 0 (5.2) — соответствующее однородное уравнение

Теорема (5.1) структура общего решения ЛНДУ

Общее решение yв уравнение (5.1) является сумма его произвольного частного решения и общего решения

=

y = (5.3)

Доказательство:

y = +

y’ = ( ) ‘ + ’

y’’ = ( ) ‘’ + ’’

y’’ = ( ) ‘’ + ’’ + (x) ()’ ’ + (x) (+ ) = f (x)’

( ) ‘’ + (x) ()’ + (x) () + + (x) + (x) ) + (’’ + (x) ’ + (x) =f(x, y)

y= + (5.4)

Для этого нужно доказать, что из решения (5.4) можно выделить единственную частное решениеудовлетворяющее начальным условиям

Дифференцируем (5.4) и подставляем условия (5.5)

y () = y ‘() = (5.5)

= W 0

! ,

Метод Лагранжа(Вариации произвольных постоянных)

Для нахождения общего решения (5.1) необходимо найти частное решение .