Степени полиномов от нескольких переменных

, если коэффициенты при соответственных парах равны.

Множество всех полиномов от n – переменных над К обозначают и являются кольцом.

20. Степени полиномов от нескольких переменных. Однородные многочлены.

Определение: Степенью одночлена называется число , а степенью многочлена называется наибольшее из его степеней одночленов .

Определение: Многочлен называется однородным в степени к, если все его одночлены имеют степень к.

Свойство: Т. к. кольцо К без делителя нуля, то степень произведения многочленов равна сумме степеней каждого .

21. Лексикографическое упорядочение полиномов от нескольких переменных.

Определение: Пусть даны два одночлена и . Говорят, что одночлен выше одночлена , если существует такое i0, что при i<i0, ki=li, .

Упорядоченным полиномом, при котором более высокий одночлен стоит перед более низким, называется лексикографическим упорядоченным полиномом.

Определение: Одночлен полинома, который выше всех остальных одночленов, называется высшим членом полинома.

Свойства: Высший член произведения двух полиномов равен произведению высших членов каждого полинома.

22. Функциональное и алгебраическое равенства полиномов от нескольких переменных.

23. Симметрические полиномы. Элементарные симметрические полиномы. Теорема Виета.

Определение: Полином называется симметрическим, если он не меняется ни при какой перестановке его переменных.

Определение: Элементарными симметрическими полиномами от переменных называется сумма всех возможных парных произведений.

Свойство (теорема Виета): Пусть z некоторая буква, которая , тогда ,

Частный случай теоремы Виета для полиномов 2-ой степени, т. е. .

24. Элементарные симметрические полиномы. Алгебраическая независимость.

Теорема: Всякий симметрический многочлен обладает лишь единственным выражением в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.

Доказательство: Пусть :

, то разность

была бы отлична от нуля, т. е. . Замена на

, то :

Если — один из членов многочлена , , заменить все на их выражения

, получим многочлен от , высший член которого , где

,