Статистическое распределение выборки

29. Статист. распределение выборки

При систематизации данных выборочных обследований исп. статистические дискретные и интервальные ряды распределения. 1. Статист. дискретное распределение. Полигон. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х1 наблюдалось n1 раз, х2 – n2 раз, хk – nk раз и ∑ni=n — объем выборки. Наблюдаемые значения х1 наз. вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом. Число наблюдений варианты называют частотой, а ее отношение к объему выборки — относительной частотой ni/n=wi. Статист. (эмпирическим) законом распределения выборки, или просто статистическим распределением выборки наз. последовательность вариант хi и соответствующих им частот ni или относительных частот wi. Статистическое распределение выборки удобно представлять в форме таблицы распределения частот, называемой статист. дискретным рядом распределения:

x1 x2 … xm

n1 n2 … nm

(сумма всех частот равна объему выборки ∑ni=n)

или в виде таблицы распределения относительных частот: x1 x2 … xm

w1 w2 … wm

(сумма всех относительных частот равна единице ∑wi=1)

Полигоном частот наз. ломаную, отрезки, кот. соединяют точки (х1,n1),(х2,n2),…,(хk, nk). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты х2, а на оси ординат – соответствующие им частоты ni. Точки (хi, ni) соединяют отрезками и получают полигон частот.

Полигоном относительных частот наз. ломаную, отрезки, кот. соединяют точки (х1,w1), (х2,w2),…,(хk, wk). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты хi, а на оси ординат соответствующие им частоты wi. Точки (хi, wi) соединяют отрезками и получают полигон относительных частот. 2. Статист. интервальный ряд распределения. Гистограмма. Статист. дискретным рядом (или эмпирической функцией распределения) обычно пользуются в том случае, когда отличных друг от друга вариант в выборке не слишком много, или тогда, когда дискретность по тем или иным причинам существенна для исследователя. Если же интересующий нас признак генеральной совокупности Х распределен непрерывно или его дискретность нецелесообразно ( или невозможно) учитывать, то варианты группируются в интервалы. Статист. распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

30. Эмпирическая функция

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) наз. функцию , определяющую для каждого значения x относительную частоту события X<x. Т. о., по определению , где – число вариант, меньших x, n – объем выборки.

Искомая эмпирическая функция имеет вид:

32.Осн. числовые хар-ки статист. распределения

Каждой числовой характеристике СВ Х соот. ее статистическая аналогия. Для основной характеристики положения — матем. ожидания СВ – такой явл. среднее арифметическое наблюденных значений СВ:

Наз.-статист. средним СВ. Согласно закону больших чисел, при ограниченном увеличении числа опытов статист. среднее приближается к матем. ожиданию. При ограниченном числе опытов статист. среднее явл. СВ, кот., тем не менее, связана с матем. ожиданием и может дать о нем известное представление. Подобные статист. аналогии сущ. для всех числовых характеристик. Буду обозначать теми же буквами, что и соответствующие числовые хар-и, но и снабжать их значком *. Статист. дисперсия СВ Х: . Статист. начальные и центральные моменты любых порядков:

Первый центральный момент всегда равен нулю:

43. Осн. понятия корреляционного и регрессионного а-за

Формы проявления взаимосвязей весьма разнообразны. В качестве двух самых общих их видов выделяют функциональную (полную) и корреляционную (неполную) связи. В первом случае величине факторного признака строго соот. одно или несколько значений ф-и. Достаточно часто функциональная связь проявляется в физике, химии. В экономике примером может служить прямо пропорциональная зависимость между производительностью труда и увеличением производства продукции. Корреляционная связь проявляется в среднем, для массовых наблюдений, когда заданным значениям зависимой переменной соот. некоторый ряд вероятных значений независимой переменной. Объяснение тому – сложность взаимосвязей между анализируемыми факторами, на взаимодействие кот. влияют неучтенные СВ. Поэтому связь между признаками проявляется лишь в среднем, в массе случаев. При корреляционной связи каждому значению аргумента соот. случайно распределенные в некотором интервале значения функции. По направлению связи бывают прямыми, когда зависимая переменная растет с увеличением факторного признака, и обратными, при кот. рост последнего сопровождается уменьшением ф-и. Такие связи также можно назвать соответственно полож. и отриц. Относ. своей аналитической формы связи бывают линейными и нелинейными. В первом случае между признаками в среднем проявляются линейные соотношения. Нелинейная взаимосвязь выражается нелинейной функцией, а переменные связаны между собой в среднем нелинейно. Сущ. еще одна достаточно важная хар-ка связей с точки зрения взаимодействующих факторов. Если характеризуется связь двух признаков, то ее принято называть парной. Если изучаются более чем две переменные – множественной. Различают также непосредственные, косвенные и ложные связи. В первом случае факторы взаимодействуют между собой непосредственно. Для косвенной связи характерно участие какой-то третьей переменной, кот. опосредует связь между изучаемыми признаками. Ложная связь – это связь, установленная формально и, как правило, подтвержденная только количественными оценками. Она не имеет под собой качественной основы или же бессмысленна. По силе различаются слабые и сильные связи. Эта формальная хар-ка выражается конкретными величинами и интерпретируется в соот. с общепринятыми критериями силы связи для конкретных показателей. Задачи корреляционного анализа сводятся к измерению тесноты связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных связей и оценке факторов оказывающих наибольшее влияние на результативный признак. Задачи регрессионного анализа лежат в сфере установления формы зависимости, определения функции регрессии, использования уравнения для оценки неизвестных значении зависимой переменной. Методы оценки тесноты связи подразделяются на корреляционные и непараметрические. Параметрические методы основаны на исп. оценок нормального распределения и применяются в случаях, когда изучаемая совок. состоит из величин, кот. подчиняются закону нормального распределения. На практике это положение чаще всего принимается априори. Непараметрические методы не накладывают ограничений на закон распределения изучаемых величин. Их преимуществом является и простота вычислений.

33.Точечное оценивание параметров распределения

Точечная оценка предполагает нахождение единственной числовой величины, кот. и принимается за значение параметра. Сущ. несколько методов решения задачи точечной оценки параметров, наиболее употребительными из них являются методы максимального (наибольшего) правдоподобия, моментов и квантилей.Метод максимального правдоподобия-Метод основан на исследовании вероятности получения выборки наблюдений (x1, x2, …, xn). Эта вероятность равна f(х1, T) f(х2, T) … f(хп, T) dx1 dx2 … dxn.Метод моментов-выбирается столько эмпирических моментов, сколько требуется оценить неизвестных параметров распределения. Желательно применять моменты младших порядков, т. к. погрешности вычисления оценок резко возрастают с увеличением порядка момента.

Метод квантилей — Сущность метода квантилей схожа с методом моментов: выбирается столько квантилей, сколько требуется оценить параметров; неизвестные теоретические квантили, выраженные через параметры распределения, приравниваются к эмпирическим квантилям. Решение полученной системы уравнений дает искомые оценки параметров.