Способы вычисления интегралов

4. .

5. .

5*. Свойство оценки модуля интеграла:

(если функция ограничена по модулю на кривой Г).

Таким образом, формулу (4) можно рассматривать и как определение криволинейного интеграла от функции комплексного переменного, и как формулу его вычисления через криволинейные интегралы второго рода от функций двух действительных переменных.

Формулу легко использовать и запомнить, так как в левой части под знаком интеграла формально происходит выполнение следующих действий:

1)  выделения действительной и мнимой части интегрируемой функции ,

2)  умножения на ,

3)  записи полученного выражения в алгебраической форме.

1.2. Способы вычисления интегралов.

Интеграл от аналитической функции.

Независимость интеграла от пути интегрирования.

Основные методы интегрирования.

Формула Ньютона-Лейбница

Способ вычисления интеграла зависит от способа задания кривой.

1) В случае явного задания кривой формула интегрирования (4) запишется в виде

. (6)

2) Если кривая Г задана параметрическими уравнениями в действительной форме , где начальная и конечная точки дуги соответствуют значениями и , то, используя правила вычисления интегралов второго рода, формулу интегрирования (4) можно преобразовать к виду

(7)

.

3) В случае параметрического задания кривой непосредственно , формула (4) будет иметь вид

. (8)

Отдельно следует рассмотреть варианты параметризации окружности с центром в точке и радиусом :

. (9)

Параметризация в показательной форме имеет вид

,

, , (10)

Особое внимание необходимо уделить случаю аналитичности подынтегральной функции. Для этого следует учесть ряд определений и свойств.

для того чтобы функция ,

была дифференцируема в точке z, необходимо и достаточно, чтобы функции и были дифференцируемы в окрестности точки и удовлетворяли условиям Коши-Римана:

и . (11)

Выражение является полным дифференциалом, т. е. , если выполняется условие (в односвязной области):

. (12)

Если − аналитическая функция в односвязной области или подынтегральные выражения полученных интегралов второго рода являются полными дифференциалами, то интеграл не зависит от пути интегрирования (зависит только от начальной и конечной точек).

Первообразные аналитических функций в односвязных областях находят так же, как и в случае действительного анализа, используя свойства интегралов, таблицу интегралов и методы интегрирования.

для вычисления интеграла от аналитической функции (так как интеграл зависит только от начальной и конечной точек) применяется формула Ньютона-Лейбница:

(13)

где − какая-либо первообразная для функции , т. е. в области , а и − начальная и конечная точки кривой.

Если функции и аналитические в односвязной области , а и − произвольные точки этой области, то справедлива формула интегрирования по частям: