Сопряжение комплексных чисел
2 Сопряжение комплексных чисел
Комплексное число называется комплексно сопряженным к
, а отображение
называется сопряжением. Сопряжение является биективным отображением комплексной плоскости на себя. С геометрической точки зрения операция сопряжение есть не что иное, как отражение относительно действительной оси.
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда z – действительное число. Кроме этого, сопряжение обладает свойством гомоморфности по отношению к сложению и умножению:
Эти свойства проверяются непосредственно. Как и всякая симметрия, сопряжение обладает свойством инволютивности: для любого
.
Отметим также свойство , которое приводит к следующему правилу деления комплексных чисел: для того, чтобы разделить одно комплексное число на другое надо числитель и знаменатель дроби умножить на величину сопряженную знаменателю (см. пример Б, §1).
3 Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
Изобразим комплексное число вектором. Длина этого вектора, т. е. величина
называется модулем комплексного числа
и обозначается
. Если
— действительное число, то приходим к «школьному» модулю, ибо
. Если
, то угол, который образует вектор
с действительной осью называется аргументом комплексного числа
и обозначается
Пусть
– модуль и аргумент ненулевого комплексного числа. Тогда
(1)
Выражение называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
Свойства модуля. Для любых комплексных чисел имеют место соотношения:
а) ,
б) (неравенство треугольника);
Докажем первое равенство:
Извлекая квадратный корень, получим равенство . Второе равенство следует из первого, ибо оно эквивалентно следующему соотношению:
.
Докажем неравенство треугольника. Обозначая и возводя в квадрат, заменяем это неравенство на равносильное:
Возводя в квадрат в левой части и сокращая, получаем эквивалентное неравенство
Это неравенство будет следовать из неравенства
которое, после возведения в квадрат и сокращения, превращается в неравенство
Последнее неравенство несомненно верно. □
Следствие. Множество комплексных чисел с единичным модулем (обозначим: – комплексная единичная окружность) замкнуто относительно умножения и обращения.
Перемножим два комплексных числа в тригонометрической форме записи:
Применяя тригонометрические формулы «косинус суммы» и «синус суммы», приходим к следующему правилу: при перемножении комплексных чисел модули умножаются, а аргументы складываются
(2)
В частности, перемножая число на себя n раз, получаем формулу Муавра:
Умножая произвольное комплексное число-вектор на комплексное число вида
, увеличиваем аргумент у комплексного числа
на величину
, не меняя модуля. Это преобразование соответствует повороту комплексной плоскости на угол
Умножение на положительное действительное число
есть гомотетия комплексной плоскости (растяжение в
раз, если
и сжатие в
раз, если
). Итак, преобразование
представляет из себя последовательное выполнение двух геометрических преобразований над вектором — поворота и гомотетии. В этом и заключается геометрический смысл умножения комплексных чисел.
Пример. Вычислим . Для этого сначала найдем модуль и аргумент числа
:
Для того чтобы найти аргумент изобразим комплексное число вектором, очевидно лежащем на биссектрисе первого квадранта, и ответ
или, по другому,
станет понятен. Далее