Смешанное произведение

Пример:

а=(1, 2, 3), b=(4, 5, 6) [а; b]=(-3; 6; -3) (проверить).

[а; b] = = (12-15)i – (6-12)j+(5-8)k=-3i+6j-3k=(-3; 6; -3)

Смешанное произведение.

В пространстве трёхмерных векторов определена ещё одна операция – смешанное произведение, однако эта операция не является алгебраической.

Свойства векторного произведения

1)  смешанное произведение не изменится, если в нём переставить местами знаки скалярного и векторного умножения , поэтому его обозначают просто аbс;

2)  смешанное произведение равно нулю, если эти три вектора компланарны;

3)  аbс=bса=саb;

4)  аbс=-bас

аbс=-асb

аbс=-сbа

5)  модуль векторного произведения равен объёму

параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Vпараллелепипеда= аbс

Vпирамиды =1/6 аbс

6) если аbс>0, то тройка правая,

если аbс<0, то тройка левая.

Утверждение.

Если векторы заданы своими координатами в стандартном базисе, то

abc=

Без доказательства.

Лекция 4.

Преобразование декартовых координат.

Параллельный перенос.

х1=х-а

у1=у-в

Поворот.

х

у

Используя формулы для син и Сосин получим:

Так как

так, старые координаты выражаются через новые:

Чтобы выразить новые координаты через старые воспользуемся этими же формулами, считая =-:

Общий случай (параллельный перенос и поворот).

Две основные задачи аналитической геометрии:

дан геометрический объект, составить его уравнение или систему уравнений. дано уравнение или система уравнений, изучить геометрические свойства объекта, то есть форму и расположение.

Простейшие задачи аналитической геометрии:

Вычислить длину отрезка по его концам, разделить отрезок в данном соотношении и тому подобное.

Прямая на плоскости.

Уравнение прямой – это уравнение первой степени относительно ч и у

Р (1)

Это общее уравнение прямой.

Если =0, то

-это уравнение прямой, параллельной оси оу

Если не равно нулю, то из общего уравнения получим уравнение с угловым коэффициентом.

Уравнение в отрезках

Взаимное расположение двух прямых.

Лекция 5.

Плоскость в пространстве

Виды уравнений плоскости в пространстве.

1)Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

2)общее уравнение плоскости.

3) уравнение плоскости в отрезках.

4) получение уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки.

5) плоскость, проходящая через две параллельные прямые.

Взаимное расположение двух плоскостей.

Условие параллельности.

Условие перпендикулярности.

Угол между двумя плоскостями.

Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями.

Лекция 6.

Прямая в пространстве.

Виды уравнений прямой в пространстве.

Взаимное расположение прямой и плоскости.

Взаимное расположение двух прямых.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.

Расстояние между двумя параллельными прямыми.

Расстояние от точки до прямой.

Лекция 7.

Кривые второго порядка.

Общее уравнение кривой второго порядка на плоскости.

Уравнение эллипса.

Уравнение гиперболы.

Уравнение параболы.

Обратная пропорциональность.

Лекция 8.

Поверхности второго порядка.

Эллипсоид. Эллипсоид вращения, сфера. Сечения эллипсоида.

Гиперболоиды. Однополостный, двуполостный. Сечения.

Параболоиды. Эллиптический, гиперболический (седло).

Лекция 9.

Матрицы, определители.

Виды матриц: прямоугольные, квадратные. Верхнетреугольная, нижнетреугольная. Диагональная. Нулевая. Единичная.

Произведение матриц: свойства: некоммутативность, ассоциативность, дистрибутивность. Определитель, свойства определителя.

Лекция 10.

Методы решения СЛАУ.

Матричный метод решения.

Метод Крамера. Вывод формул Крамера для т=2.

Метод Гаусса.

Лекция 11.

Анализ решений однородных и неоднородных СЛАУ.

ВТОРОЙ СЕМЕСТР ОТСЮДА.

Лекция 12.

Теорема 1. Теорема о единственности разложения по базису.

Доказательство:

Пусть {b1, b2,… , bn} – базис. Допустим, что x имеет два разложения в этом базисе:

x=x1b1+x2b2+…+xnbn

x=x’1b1+x’2b2+…+x’nbn

Тогда вычтем из первой строки вторую

0=x—x=(x1-x’1)b1+(x2-x’2)b2+…+(xn—x’n)bn

Так как базис – линейно независимая система, то её линейная комбинация равна 0, только если эта линейная комбинация тривиальна, то есть xi—x’i=0 для " i Þ xi=x’i для " i.

То есть эти разложения совпадают.

Примеры:

1) рассмотрим стандартный базис в трёхмерном пространстве

е1=(1, 0, 0), е2=(0, 1, 0), е3=(0, 0, 1)

если а=2е1+3е2+4е3, то в координатной форме пишут а=(2, 3, 4)

2)в пространстве матриц размерности 2´2

с базисом { , , , }

рассмотрим элемент . Его координаты (2, 3, 4, 5).