Смешанное произведение трех векторов

Векторным произв. наз. , опред. след. образом(рис.1): 1), , где -угол между

2) (), ()

3) , – после привед. к общему нач. ориентированы друг по отнош. к другу, как тройка векторов ,. Векторное произв. обозн.: . Св-ва:

1)

2), где , ,

3)

4)

Если векторное произв.

Заметим, что опред. формула:

Пример: вычисл. , если А(1,1,3), В(3,-1,6), С(5,1,-3). Решение:

, ,

,

Вопрос37.Смешанное произведение трех векторов. Свойства смешанного произведения. Объем пирамиды и параллелепипеда, простроенного на трех векторах. Формула объема треугольной пирамиды по координатам ее вершин

Смешанное произв. – наз. скалярное произв. вектора и вектора , т. е.

Теорема:смеш. произв. 3-ех векторов равно Vпар, построенного на этих векторах. Св-ва:

1)  , если а) хотя бы один из перемнож. Векторов равен 0. Б) 2 из перемнож. векторв коллинеарны. в) все 3 векора коллинеарны, т. е. паралельны одной и той же плоскости и леж. в одной плоскости.

2)  смеш. произв. не меняется при циклич. перестоновке его множ. Не изм. объем параллелепипеда.

3)  Смеш. произ. меняет свой знак при перемене мест любых 2-ух векторов-сомнож. , ,

Расм. произ. , сост. след. Образом: . Построим пар., ребра кот. явл. и . , , где S — площадь параллелограмма пост. на векторах , пр. = H для правой тройки векторов и пр. = -H для левой, где Н-высота параллелепипеда. →, т. е. , где V-объем пар. образ.

Объем парал., посторенного на вычисл. , а объем пирамиды —

Вопрос39. Уравнение поверхности и линии в пространстве

Поверхность-геометрическое место точек, удовлетв. к.-л. усл. F(x, y,z)=0 ур. пов. в прям. сист. координат Oxyz c 3-мя пер. кординыты, кот. Удовлетворяют усл. ур.

Линию в пространстве можно рассм. как линию пересеч. 2 пов. Или как геометр. место точек, общих 2-ух пов.(рис.1) 1

2

Рис.1

Ур. сист. (1) наз. ур. линии в пространстве.

ур. оси Ox

Линию в пространстве можно рассм. как траекторию движ. точки (Рис. 2)

z

M(x, y,z)

y

x

В этом случ. ее задают векторным ур.: (2) или параметрическим ур: проекций вектора на оси координат (2)

Вопрос40.Различные виды уравнений плоскости(частные виды уравнения плоскости;уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной нормальному вектору;уравнеие плоскости в плоскости в отрезках;уравнение плоскости, проходящей через три точки;уравнение плоскости, проходящей черездведанные точки и параллельной данному вектору;уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум неколлинеарным векторам

Простейшей пов. явл. плоскость. Плоскость в пространстве Oxyz можно задать разными способ. Каждому из них соотвествует определенный вид ее ур.

Плоскость Q в пространстве Oxyz задана точкой и , . (Рис.1)

z

M

O M y

x Рис.1

Возьмем произвольную М и сост. вектор:

При любом располож. М на плоскости Q векторы и взаимно перпендикулярны =>, что * = 0. Координаты не леж. на плоскости Q это ур. не удовлетворяют. – ур. плоскости через данную точку перепендикулярную (ур. связки плоскостей). Совокупность плоскостей, проход. Через данную точку-связка плоскостей – нормальный вектор.

Плоскость отсекает на осях Ox, Oy, Oz соответственно отрезки a, b, c, т. е. проходит через 3 точки А(а,0,0), В(0,b,0), C(0,0,c) (рис.2)

Рис1 z C