Случайные события. действия над событиями

1.  Случайные события. Действия над событиями.

Пусть в результате испытания единственно возможно появление n несовместных равновероятных событий E1, E2,…, En. Такие события будем наз элементарными. Понятие равновероятности является неопределяемым в теории вероятностей и считается интуитивно ясным. Напр при подбрасывании монетки равновероятно выпадение любой стороны. Несовместными будем считать те события, появление которых исключает друг друга. Опр-е Множество элемент исходов относительно произвед испытания наз пространством элемент исходов и обозначΩ(омега). Опр-ие Случайным событием наз любое множество элемент событий. Дадим опр-ния действиям над событиями: 1. Если при появлении события А происходит и событие B, то говорят, что событие А влечет за собой событие В и обозначают АB. 2. Если АB и ВА, то говорят, что события А и В равновозможны и обознач А=В.

3. Событие, состоящее в том, что появится хотя бы одно из событий А или В наз суммой событий и обозначается А+В. 4. Событие, состоящее в том, что события А и В появятся одновременно, наз произведением событий и обозначается А*В. 5. Событие, состоящее в том, что А произойдет, а В не произойдет, наз разностью: А-В. 6. Событие, состоящее в том, что А не произойдет, наз противоположным и обозначается . 7. Событие наз достоверным, если оно с необходимостью (точно) происходит, и обозначается Ω (омега). 8. Событие наз невозможным, если оно не может произойти, и обозначается Ø. 9. События А и В наз несовместными, если их одноврем появление невозможно Ø. 10. События А и наз противоположными, если их одноврем появление невозможно и в сумме они дают пространство элемент событий Ø, . 11. События В1, .., Вn образуют полную группу, если любые 2 из них одновременно появится не могут и в сумме они дают пространство элемент событий. Ø, .

2.  Классическое определение вероятности и ее свойства.

Классич вероятностью наз отношение числа несовместн равновероятн событий, состав-ляющих А, к общему числу элемент событий. Формула классич вероятности позволяет решать огранич число задач: 1) число элемент событий конечно, 2) все элемент событий равновозможны. Теория вероятности пользуется языком теории множеств, т. е. события это множества, а действия над событиями – действия над множествами. Случ события обозначаются больш латинск буквами, а числа мален латинс буквами. Множества событий обозначаются греч буквами. Св-ва классич вероятности: 1. Для любого события вероятность есть число неотрицательное: . 2. Теорема сложения: Если событие А можно разбить на 2 несовместн события В и С, то вероятность события А равна сумме вероятностей В и С .

3. Вероятность достоверн события равна единице , т. к. . 4. Вероятность противопол события равна . 5. Вероятность невозможн события равна 0: P(Ø) = 0 , т. к. m = 0. 6. Если событие А влечет за собой событие В, то . 7. Для любого события.

3.  Аксиоматическое определение вероятности.

В качестве аксиом, определяющих вероятность, А. Н. Колмогоровым приняты следующие утверждения:

Аксиома 1. Каждому случайному событию А поставлено в соответствие неотрицательное число P (A) , называемое его вероятностью.

Аксиома 2. P(Ω)= 1.

Аксиома 3 (аксиома сложения). Если события A1, A2,…,An попарно несовместимы, то

P(A1 + A2 +…+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An).

Следствиями сформулированных аксиом являются следующие утверждения.

1. Вероятность невозможного события равна нулю: P(∅) = 0.

2. Для любого события А P (A) = 1 – P (A)

3. Каково бы ни было случайное событие А, 0 ≤ P(A) ≤ 1.

4. Если событие А влечет за собой событие В, то P(A) ≤ P(B).

Вероятностным пространством принято называть тройку символов {Ω, Θ, P}, где Ω – множество элементарных событий ω, Θ – σ – алгебра подмножеств Ω, называемых случайными событиями, и P(A) — вероятность, определенная на σ – алгебре Θ.

Таким образом, согласно аксиоматике А. Н. Колмогорова каждому наблюдаемому событию приписывается некоторое неотрицательное число, называемое вероятностью этого события, так, чтобы вероятность всего фазового пространства была равна 1, и выполнялось свойство сигма-аддитивности. Последнее свойство означает, что в случае попарно исключающих друг друга событий вероятность наступления по крайней мере одного (и в силу попарной несовместимости, ровно одного) наблюдаемого события совпадает с суммой вероятностей наблюдаемых событий из данной конечной или счетной совокупности наблюдаемых событий

4.  Формулы комбинаторики. Гипергеометрическое распределение.

При решении задач по фор-ле классич вероятности часто применяют формулы комбинаторики. Перестановками наз комбинации, составленные из одних и тех же элементов, которые отличаются только порядком их расположения. Число перестановок из n элементов выч-ся по фор-ле Размещениями наз комбинации, составленные из n элементов по m, которые различаются либо составом элементов, либо порядком их следования. Число размещений из n элементов по m выч-ся по фор-ле . Сочетанием наз комбинации, составленные из n элементов по m, которые различаются только составом элементов. Число сочетаний из n элементов по m выч-ся по фор-ле: Св-ва сочетаний:

т. к.по опр-нию 0!=1. 2 3Урновая схема. Пусть в урне имеется N шаров, среди которых М белых, а остальные черные. Наудачу вытащили k шаров, найти вероятность того, что среди них l белых.

.

5.  Условная вероятность. Независимость событий. Часто интересует вероятность появления события А после того, как некот событие В уже произошло. Такую вероятность наз условной и обозначают P(A/B). Условной вероятностью события А при условии, что событие В уже произошло, наз . Аналогично, условн вероятностью события B при условии, что событие A уже произошло, наз . Из формул и следует теорема умножения:

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.