Учебные материалы по математике | Случайные события. действия над событиями | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Случайные события. действия над событиями


1.  Случайные события. Действия над событиями.

Пусть в результате испытания единственно возможно появление n несовместных равновероятных событий E1, E2,…, En. Такие события будем наз элементарными. Понятие равновероятности является неопределяемым в теории вероятностей и считается интуитивно ясным. Напр при подбрасывании монетки равновероятно выпадение любой стороны. Несовместными будем считать те события, появление которых исключает друг друга. Опр-е Множество элемент исходов относительно произвед испытания наз пространством элемент исходов и обозначΩ(омега). Опр-ие Случайным событием наз любое множество элемент событий. Дадим опр-ния действиям над событиями: 1. Если при появлении события А происходит и событие B, то говорят, что событие А влечет за собой событие В и обозначают АB. 2. Если АB и ВА, то говорят, что события А и В равновозможны и обознач А=В.

3. Событие, состоящее в том, что появится хотя бы одно из событий А или В наз суммой событий и обозначается А+В. 4. Событие, состоящее в том, что события А и В появятся одновременно, наз произведением событий и обозначается А*В. 5. Событие, состоящее в том, что А произойдет, а В не произойдет, наз разностью: А-В. 6. Событие, состоящее в том, что А не произойдет, наз противоположным и обозначается . 7. Событие наз достоверным, если оно с необходимостью (точно) происходит, и обозначается Ω (омега). 8. Событие наз невозможным, если оно не может произойти, и обозначается Ø. 9. События А и В наз несовместными, если их одноврем появление невозможно Ø. 10. События А и наз противоположными, если их одноврем появление невозможно и в сумме они дают пространство элемент событий Ø, . 11. События В1, .., Вn образуют полную группу, если любые 2 из них одновременно появится не могут и в сумме они дают пространство элемент событий. Ø, .

2.  Классическое определение вероятности и ее свойства.

Классич вероятностью наз отношение числа несовместн равновероятн событий, состав-ляющих А, к общему числу элемент событий. Формула классич вероятности позволяет решать огранич число задач: 1) число элемент событий конечно, 2) все элемент событий равновозможны. Теория вероятности пользуется языком теории множеств, т. е. события это множества, а действия над событиями – действия над множествами. Случ события обозначаются больш латинск буквами, а числа мален латинс буквами. Множества событий обозначаются греч буквами. Св-ва классич вероятности: 1. Для любого события вероятность есть число неотрицательное: . 2. Теорема сложения: Если событие А можно разбить на 2 несовместн события В и С, то вероятность события А равна сумме вероятностей В и С .

3. Вероятность достоверн события равна единице , т. к. . 4. Вероятность противопол события равна . 5. Вероятность невозможн события равна 0: P(Ø) = 0 , т. к. m = 0. 6. Если событие А влечет за собой событие В, то . 7. Для любого события.

3.  Аксиоматическое определение вероятности.

В качестве аксиом, определяющих вероятность, А. Н. Колмогоровым приняты следующие утверждения:

Аксиома 1. Каждому случайному событию А поставлено в соответствие неотрицательное число P (A) , называемое его вероятностью.

Аксиома 2. P(Ω)= 1.

Аксиома 3 (аксиома сложения). Если события A1, A2,…,An попарно несовместимы, то

P(A1 + A2 +…+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An).

Следствиями сформулированных аксиом являются следующие утверждения.

1. Вероятность невозможного события равна нулю: P(∅) = 0.

2. Для любого события А P (A) = 1 – P (A)

3. Каково бы ни было случайное событие А, 0 ≤ P(A) ≤ 1.

4. Если событие А влечет за собой событие В, то P(A) ≤ P(B).

Вероятностным пространством принято называть тройку символов {Ω, Θ, P}, где Ω – множество элементарных событий ω, Θ – σ – алгебра подмножеств Ω, называемых случайными событиями, и P(A) — вероятность, определенная на σ – алгебре Θ.

Таким образом, согласно аксиоматике А. Н. Колмогорова каждому наблюдаемому событию приписывается некоторое неотрицательное число, называемое вероятностью этого события, так, чтобы вероятность всего фазового пространства была равна 1, и выполнялось свойство сигма-аддитивности. Последнее свойство означает, что в случае попарно исключающих друг друга событий вероятность наступления по крайней мере одного (и в силу попарной несовместимости, ровно одного) наблюдаемого события совпадает с суммой вероятностей наблюдаемых событий из данной конечной или счетной совокупности наблюдаемых событий

4.  Формулы комбинаторики. Гипергеометрическое распределение.

При решении задач по фор-ле классич вероятности часто применяют формулы комбинаторики. Перестановками наз комбинации, составленные из одних и тех же элементов, которые отличаются только порядком их расположения. Число перестановок из n элементов выч-ся по фор-ле Размещениями наз комбинации, составленные из n элементов по m, которые различаются либо составом элементов, либо порядком их следования. Число размещений из n элементов по m выч-ся по фор-ле . Сочетанием наз комбинации, составленные из n элементов по m, которые различаются только составом элементов. Число сочетаний из n элементов по m выч-ся по фор-ле: Св-ва сочетаний:

т. к.по опр-нию 0!=1. 2 3Урновая схема. Пусть в урне имеется N шаров, среди которых М белых, а остальные черные. Наудачу вытащили k шаров, найти вероятность того, что среди них l белых.

.

5.  Условная вероятность. Независимость событий. Часто интересует вероятность появления события А после того, как некот событие В уже произошло. Такую вероятность наз условной и обозначают P(A/B). Условной вероятностью события А при условии, что событие В уже произошло, наз . Аналогично, условн вероятностью события B при условии, что событие A уже произошло, наз . Из формул и следует теорема умножения:

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод