Учебные материалы по математике | Сложные проценты | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Сложные проценты


; . (2.17)

Пример 2.10. В контракте предусматривается погашение обязательства в сумме 12000 руб. через 300 дней. Первоначальная сумма долга – 10000 руб. Определить доходность ссудной операции в виде простой годовой ставки наращения при K = 360.

Решение.

.

ГЛАВА 3. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

В средне — и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, применяют сложные проценты. База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоянной – она увеличивается с каждым шагом во времени. Таким образом, сложная процентная ставка наращения – это ставка, при которой база начисления является переменной, то есть проценты начисляются на проценты.

3.1. Формула наращения по сложным процентам

Формулу сложных процентов можно получить следующим образом. Предположим, что мы имеем P руб., которые можно инвестировать по процентной ставке наращения r. Через один период наращения (например, год) мы будем иметь P(1+r) руб. Если повторить этот процесс, инвестировав всю сумму P(1+r), то к концу второго периода будем иметь [P(1+r)]×(1+r) = P(1+r)2. Продолжая процесс, видим, что показатель степени в формуле для наращенной суммы равен количеству периодов обращения. Положив это число равным n, получим формулу сложных процентов.

S = P (1+ r)n, (3.1)

где S – наращенная сумма, P – первоначальный размер долга, r – сложная ставка наращения, n – срок задолженности (число периодов (лет) наращения), (1+r)n – множитель наращения по сложным процентам.

Пример 3.1. Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб., через 5 лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых?

Решение.

S = 1×(1 + 0,155)5 = 2, 055 464 млн. руб.

При наращении по сложным процентам наращенная сумма быстро растет при увеличении числа периодов (лет).

Формулу (3.1) используют и в том случае, когда срок для начисления процентов является дробным числом.

3.1.1. Переменные ставки

Формула (3.1) предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. В случае, когда изменения размеров ставок фиксируется в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных, т. е.

S = × ×…× , (3.2)

где r1, r2, …, rk – последовательные значения ставок;

n1, n2, …, nk – периоды, в течение которых действуют соответствующие ставки.

Пример 3.2. Срок ссуды – 5 лет, договорная процентная ставка – 12% годовых плюс маржа 0,5% в первые два года и 0,75% в оставшиеся. Найти множитель наращения.

Решение.

мн = (1+0,125)2×(1+12,75)3 = 1,814.

3.1.2. Начисление процентов при дробном числе лет

Часто срок в годах для начисления процентов не является целым числом. В некоторых коммерческих банках дробная часть долга отбрасывается и считается только целая часть. В большинстве случаев учитывается полный срок. При этом применяют два метода: 1) расчет по формуле (3.1); 2) смешанный метод, который предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:

S = P (1 + a×i) (1+ r)b, (3.3)

где a – дробная часть срока задолженности, b – целая часть срока задолженности, n = a + b – срок ссуды, i = r – при целой части сложный процент, при дробной – простой.

Пример 3.3. Кредит в размере 3 млн. выдан на 3 года и 160 дней под 16,5% годовых. Определить сумму долга на конец срока двумя способами, если K = 365*.

Решение.

1) S = = 5,086 593 млн. руб.

2) S = = 5,071 932 млн. руб.

* Если временная база не оговорена, то брать 360/360.

3.2. Наращение процентов m раз в году.

Номинальная и эффективная ставки

Номинальная ставка. Часто в финансовых операциях в качестве периода наращения процентов используется не год, а например, месяц, квартал или другой период. В этом случае говорят, что проценты начисляются m раз в году. В контрактах обычно фиксируется не ставка за период, а годовая ставка, которая в этом случае называется номинальной. Сложная процентная ставка наращения является частным случаем номинальной при начислении процентов один раз в году. Если номинальную ставку обозначить через j, то проценты за один период начисляются по ставке j/m, а количество начислений равно mn. Наращенная сумма при использовании номинальной процентной ставки наращения определяется по формуле:

S = P (3.4)

Пример 3.4. Какой величины достигнет долг, равный 25000 руб. через 5,7 года при росте по сложной ставке под 16,5% годовых при начислении процентов раз в году и помесячно?

Решение.

1) S = 5,7 = 59703,22 руб.

2) S = 25000×(1 + )12×5,7 = 63622,59 руб.

Чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения.

Пример 3.5. Какова сумма долга через 25 мес. если первоначальная сумма 500 тыс. руб., проценты сложные, ставка 20%, начисление поквартальное. Определить 2-мя способами – общим и смешанным.

Решение. 25 мес. = 2 года и 1 мес.(30 дней).

1) S = = 750,840 тыс. руб.

2) S = = 741,806 тыс. руб.

Эффективная ставка (действительная). Эта ставка измеряет тот реальный доход вкладчика, который получают в целом за год от начисления процентов. Т. е. это годовая ставка сложных процентов, дающая тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m. Поэтому множители наращения эффективной и номинальной ставок должны быть равны друг другу:

(1+)n = (1+)mn.

Решив это уравнение относительно и j, получим:

= (1+)m – 1; j = m . (3.5)

Из формулы (3.5) следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений.

Замена в договоре номинальной ставки j при m-разовом начислении процентов на эффективную ставку не изменит финансовых обязательств участников сторон, т. е. обе ставки эквивалентны в финансовом отношении.

Расчет эффективной ставки является мощным инструментом финансового анализа, поскольку ее значение позволяет сравнивать между собой финансовые операции, имеющие различные условия: чем выше эффективная ставка финансовой операции, тем (при прочих равных условиях) она выгоднее для кредитора.

Пример 3.6. Каков размер эффективной ставки, если номинальная ставка 25%, начисление процентов помесячно?

Решение.

= (1+)12 – 1 = 0,28 (28%).

Т. е. данные обязательства будут эквивалентны (28% годовых или 25% помесячно).

3.3. Дисконтирование по сложной ставке

Определение дисконтирования по сложной ставке то же, что и по простой. Используя (3.1) и (3.4), получим формулы дисконтирования сложных процентов:

; . (3.6)

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод