Учебные материалы по математике | Сложная учетная ставка | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Сложная учетная ставка


Множители и называются дисконтными множителями.

Разность D = S – P называется дисконтом с суммы S.

Пример 3.7. Сумма 24000 руб. выплачивается через 1,4 года. Номинальная ставка – 25% годовых. Определить современную стоимость при ежеквартальном начислении процентов?

Решение.

= = 18507,54 руб.

3.4. Сложная учетная ставка

В практике учетных операций применяют сложную учетную ставку в тех случаях, когда процесс дисконтирования происходит с замедлением. В этом случае каждый раз учетная ставка применяется не к первоначальной сумме, как при простой учетной ставке, а к сумме, уже дисконтированной на предыдущем шаге во времени, Поэтому сумма, выдаваемая банком при учете векселя, рассчитывается по формуле:

P = S (1 – dсл)n, (3.7)

где dсл – сложная учетная ставка.

Пример 3.8. Долговое обязательство на сумму 5 млн. руб., срок оплаты которого наступает через 5 лет, продано с дисконтом по сложной учетной ставке 15% годовых. Каков размер полученной за долг суммы и величина дисконта?

Решение.

P = S (1 – dсл)n = 5 (1 – 0,15)5 = 2,2185 млн. руб.

D = S – P = 5 – 2,2185 = 2,7815 млн. руб.

Номинальная и эффективная учетные ставки. Если дисконтирование производится не один, а m раз в году, т. е. каждый раз учет производится по ставке f/m, то это номинальная годовая учетная ставка.

P = S , (3.8)

где f – номинальная годовая учетная ставка.

Эффективная учетная ставка характеризует результат дисконтирования за год. Определим ее на основе равенства дисконтных множителей:

(1 – )n = ,

откуда = 1 – и f = m. (3.9)

Для одних и тех же условий финансовой операции < f.

Пример 3.9. Вексель на сумму 20000 тыс. руб., срок платежа по которому наступает через 1,8 года, учтен по сложной учетной ставке 18% годовых. Определить сумму, полученную владельцем векселя при учете, при ежемесячном дисконтировании.

Решение.

P = S = 20000 = 14429,54 руб.

Наращение по сложной учетной ставке. Иногда наращенную сумму получают и с помощью сложной учетной ставки. Из формул (3.7) и (3.8) следует:

; . (3.10)

3.4.1. Срок ссуды и размер процентной ставки

Срок ссуды.

Процентные ставки

Формулы расчета n для различных условий наращения и дисконтирования

Сложная ставка r

n =

(3.11)

Номинальная ставка j

n =

(3.12)

Сложная годовая учетная ставка dсл

n =

(3.13)

Номинальная годовая учетная ставка f

n =

(3.14)

Пример 3.10. За какой срок в годах сумма, равная 75 млн. руб., достигнет 200 млн. руб. при начислении процентов по сложной ставке 15% раз в году и поквартально?

Решение. По формулам (3.11) и (3.12) получим:

n = лет; n = = 6,6 лет.

Величина процентной ставки.

Процентные ставки

Формулы для расчета ставок r, j, dсл, f для различных условий наращения процентов и дисконтирования

Сложная ставка r

r =

(3.15)

Номинальная ставка j

j =

(3.16)

Сложная годовая учетная ставка dсл

dсл =

(3.17)

Номинальная годовая учетная ставка f

f =

(3.18)

Пример 3.11. Срок до погашения векселя равен 2 годам. Дисконт при его учете составил 30%. Какой сложной годовой учетной ставке соответствует этот дисконт?

Решение. По данным задачи =0,7. По формуле (3.17) находим:

dсл = = 0,1633 (16,33%).

ГЛАВА 4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК

Достаточно часто в практике возникает ситуация, когда необходимо произвести между собой сравнение по выгодности условий различных финансовых операций и коммерческих сделок. Условия финансово-коммерческих операций могут быть весьма разнообразными и напрямую несопоставимыми. Для сопоставления альтернативных вариантов ставки, используемые в условиях контрактов, приводят к единообразному показателю.

Различные финансовые схемы можно считать эквивалентными в том случае, если они приводят к одному и тому же финансовому результату, т. е. отношения сторон не изменяются в рамках одной финансовой операции.

Эквивалентная процентная ставка – это ставка, которая для рассматриваемой финансовой операции даст точно такой же денежный результат (наращенную сумму), что и применяемая в этой операции ставка.

Эквивалентность ставок уже затрагивалась в п. 3.2 при определении эффективной ставки.

При выводе равенств, связывающих эквивалентные ставки, приравниваются друг к другу множители наращения*, что дает возможность использовать формулы эквивалентности простых и сложных ставок (табл. 4.1.).

Таблица 4.1.

1

Простая ставка наращения

Сложная ставка наращения

(1 + n×i)

=

(1 + r)n

2

Простая ставка наращения

Простая учетная ставка

(1 + n×i)

=

Продолжение табл. 4.1.

3

Простая ставка наращения

Номинальная ставка наращения

(1 + n×i)

=

4

Сложная ставка наращения

Простая учетная ставка

(1 + r)n

=

5

Простая учетная ставка

Номинальная ставка наращения

=

6

Сложная ставка наращения

Сложная учетная ставка

(1 + r)n

=

7

Сложная ставка наращения

Номинальная ставка наращения

(1 + r)n

=

= (1+)m – 1

j = m

Пример 4.1. Какой сложной годовой ставкой можно заменить в контракте простую ставку 18% (K=365), не изменяя финансовых последствий? Срок операции 580 дней.

Решение.

Пример 4.2. Каковы будут эквивалентные номинальные процентные ставки с полугодовым начислением процентов и ежемесячным начислением процентов, если соответствующая им эффективная ставка должна быть равна 25%?

Решение.

Находим номинальную ставку для полугодового начисления процентов:

j = m = 2 [(1 + 0,25)1/2 – 1] = 0,2361 (23,61%).

Находим номинальную ставку для ежемесячного начисления процентов:

j = m = 12 [(1 + 0,25)1/12 – 1] = 0,2252 (22,52%).

Таким образом, номинальные ставки 23,61% с полугодовым начислением процентов и 22,52% с ежемесячным начислением процентов являются эквивалентными.

Средние процентные ставки. Если в финансовой операции размер процентной ставки изменяется во времени, то все значения ставки можно обобщить с помощью средней. Замена всех усредняемых значений ставок на среднюю процентную ставку по определению не изменяет результатов наращения или дисконтирования.

Для средней простой ставки формула будет выглядеть следующим образом:

iср = , (4.1)

где Snj – общий срок наращения процентов.

Для средней сложной ставки следует:

rср = , (4.2)

ГЛАВА 5. НАРАЩЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ И ИНФЛЯЦИЯ

Сущность инфляции и необходимость ее учета в количественном анализе. Инфляция – устойчивый рост среднего уровня цен на товары и услуги в экономике. Это многомерное и многоаспектное явление, которое можно классифицировать на основе различных критериев. Внешним проявлением инфляции является повышение общего уровня цен, т. е. совокупный рост цен на товары и услуги в течение длительного времени. Соответственно на денежную единицу приходится меньше товаров, т. е. деньги обесцениваются.

Если наблюдается общее снижение цен, то происходит дефляция.

В рассмотренных выше методах все денежные величины измерялись по номиналу, т. е. не принималось во внимание снижение реальной покупательной способности денег за период, охватываемый операцией. Однако в современных условиях инфляция в денежных отношениях играет заметную роль, и без её учета конечные результаты часто представляют собой условную величину.

Инфляцию необходимо учитывать, по крайней мере, в двух случаях:

1. при определении наращенной суммы;

2. при измерении реальной доходности финансовой операции с учетом инфляции.

Для оценки уровня инфляции используется система индексов цен.

Индекс потребительских цен (Ip) – это показатель международной статистики, регулярно использующийся практически во всех странах мира (CPI – Consumer Price Index), который характеризует динамику затрат на постоянный набор товаров и услуг за счет ценностного фактора.

Индекс потребительских цен дает достаточно обобщенную характеристику инфляции, так как потребление является завершающим этапом в создании валового продукта, и здесь находят свое отражение все предыдущие стадии производства.

Если h – темп инфляции за один период (при расчетах учитывать в относительной величине, т. е. h/100), то за n таких периодов получим:

Ip = (1+ h)n, (5.1)

Под темпом инфляции h понимается относительный прирост цен за период; обычно он измеряется в процентах и определяется как

h = (Ip – 1)×100 (5.2)

Пример 5.1. Постоянный темп инфляции 5% в месяц. К какому росту цен он приведет за год?

Решение.

Ip = (1+ 0,05)12 = 1,796 (79,6%).

Действительный годовой темп инфляции равен 79,6%, а не 60% как при суммировании (что является грубейшей ошибкой!).

Инфляция противодействует повышению стоимости денег, обесценивая их. Вследствие начисления процентов происходит увеличение денежных сумм, но их стоимость под влиянием инфляции уменьшается. Поскольку каждая денежная единица обесценивается вследствие инфляции, то в дальнейшем обесцениваются уже обесцененные деньги. Таким образом, формула для исчисления наращенной суммы с учетом влияния инфляции, если наращение производится по простой ставке, принимает следующий вид:

C =, (5.3)

где С – наращенная сумма с учетом ее обесценения,

– индекс покупательной способности денег.

Если темп инфляции задан в месяц, то в знаменателе формулы (5.3) степень необходимо умножить на 12. Эти же соображения относятся к формулам (5.4) и (5.5).

Увеличение наращенной суммы с учетом ее инфляционного обесценения имеет место только тогда, когда (1+ni) > Ip.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод