Сложение матриц

A=

Элементы матрицы нумеруются 2-мя индексами:

1)  i – означает номер строки

2)  j – номер столбца

на пересечении которых стоит элемент.

Если у матрицы m строк и n столбцов, и говорят, что её размерность mxn. (Аmxn)

Матрицы наз. равными, если они имеют одинаковую размерность и все их соответствующие элементы равны.

Аmxn= Вmxn, если aij=bij

Если в матрице число строк равно числу столбцов (т = п), то такую матрицу называют квадратной, причем число ее строк или столбцов называется порядком матрицы.

Если m=1 получается матрица-строка (вектор-строка). Если n=1 – матрица-столбец (вектор-столбец).

Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. (А1х1)

Квадратная матрица, у кот. все элементы, кроме элементов aij, равны нулю наз. диагональной (элементы aij могут быть равны, где i=1,n, при этом элементы aij составляют главную диагональ кв. матрицы, а вторая диагональ наз. побочной).

Диагональная матр., у кот. все элементы на главной диагонали равны 1, наз. единичной матрицей (Е).

Матрица, у кот. все элементы равны 0, наз. нулевой (О).

Операции над матрицами:

1) Сложение матриц. Матрицы одинакового размера можно склады­вать.

Суммой двух таких матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Так, если

то их суммой является матрица

2) Произведение матрицы на число. Произведением матрицы А на число А, называется матрица В, элементы которой равны произведению числа λ на соответствующие элементы матрицы А. (bij= λ • aij). Отсюда следует, что при умножении матрицы на нуль получается нуль-матрица.

3) Произведение матриц Аmxn и Вnxp назыв. матрица С размерности Сmxp, каждый элемент которой cij = ai1 • bij + ai2 • b2j + ai3 • b3j + ain •bnj.

Если АВ=ВА, то матрицы А и В наз. перестановочными или коммутирующими.

22. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы. Вычисление ранга матрицы методом Гаусса.

Рангом матрицы А (обозначение rangA) называ­ется наибольшее натуральное число k, для которого существует не рав­ный нулю определитель k-то порядка, порожденный матрицей А.

Выделим в матрице А k строк и k столбцов, где k ≤ т, п (размерность м. А). Элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образу­ют квадратную матрицу, которая порождает определитель k — гo поряд­ка.

Определитель порядка k, составленный из элементов стоящих на пересечении выделенных k строк и k столбцов наз. минором или определителем порожденным матрицей А.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется, если:

1)  поменять местами любые два парал. ряда

2)  умножить каждый элемент ряда на один и тот же не нулевой множитель

3)  прибавить к элементам ряда соответствующие элементы другого парал. ряда, умноженные на один и тот же множитель.

Такие преобразования наз. эквивалентными.

Две матрицы наз. эквивалентными, если одна матрица получена из другой с помощью эквивалентных преобразований (А~В).

Базисным минором наз. всякий отличный от нуля минор, порядок кот. равен рангу данной матрицы.

Метод единиц и нулей нахождения ранга матриц: с помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к виду, когда каждый её ряд будет состоять из нулей либо из нулей и одной единицы, тогда число оставшихся единиц равно рангу исходной матрицы.

23. Обратная матрица и её вычисления.

Если определитель матрицы А, равен нулю, то матрица А называется вырожденной, в противном случае матрица А называется невырожденной.

Если А — квадратная невырожденная матрица, то обратной для нее матрицей назы­вается матрица, обозначаемая А-1 и удовлетворяющая условиям:

А•А-1= А-1•А = Е, где Е— единичная матрица.

Для невырожденной матрицы А всегда сущ. Единственная обратная матрица А-1 , кот. определяется формулой:

А-1 = × A*,

А =

Где матрица А* назыв. присоединённой.

А* =

Aij – алгебраическое дополнение элемента aij матрицы А.

Aij = (-1) i+j × Mij

25. Система линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных. Решение системы методом Гаусса. Понятие базисного решения.

Метод Гаусса: Процедура решает неоднородную систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

a11 x1+a12 x2+ . . .+a1n xn=a1n+1

a21 x1+a22 x2+ . . .+a2n xn=a2n+1

. . . .

an1 x1+an2 x2+ . . .+ann xn=ann+1

Вначале находим отличный от нуля коэффициент при x1. Соответствующее уравнение переставляем с первым (если это необходимо). Получаем систему с a11 отличным от нуля. Разделив коэффициенты этого уравнения на a11, получим:

x1+b12 x2+ . . .+b1n xn=b1n+1

При помощи этого уравнения исключаем x1 из исходной системы:

a(1)22 x2+a(1)23 x3+ . . .+a(1)2n xn=a(1)2n+1

. . . .

a(1)n2 x2+a(1)n3 x3+ . . .+a(1)nn xn=a(1)nn+1

где

a(1)i j=ai j-ai 1b1 j, i, j= 2…n

Полученная система содержит n-1 уравнение. Применяем описанную выше процедуру к этой системе. Операции повторяем требуемое число раз, пока не приведем систему к треугольному виду:

x1+с12 x2+ . . .+с1n xn=с1n+1

x2+ . . .+c2n xn=c2n+1

. . . .

xn=cnn+1

Теперь легко определить xn, xn-1, . . ., x1.

Если det(A)=0, то исходная система не имеет решений и процедура выдает S=0 иначе S=1 и решения находятся в массиве X.

27. Понятие функции. Область определения. Различные способы задания.

Величина у наз. функцией переменной величины х, если каждому из тех значений, которые может принимать х, соответствует одно или несколько определенных значений у. При этом переменная величина х называется аргументом.

Совокупность всех значений, которые может принимать аргумент х функции f(х), называется областью определения этой функции. Замечание: значению х, не входящему в упомянутую совокупность, не соответствует никакое значение функции.

Ф-я считается заданной (известной), если для каждого значения аргумента (из числа множества) можно узнать соответствующее значение ф-и. 3 способа задания ф-и: 1)табличный, 2)графический, 3)аналитический. Табличный способ сразу дает числовое значение ф-и. Графический способ сост. в построении линии (графика), у которого абсциссы изображают значения аргумента, а ординаты – соответствующие значения ф-и. аналитический способ сост. в задании ф-и одной или несколькими формулами.

28.Числовая последовательность. Определение предела числовой последовательности.

Если для каждого элмента из некоторого множества взаимнооднозначно сопоставлено натуральное число (т. е. задан номер), то говорят, что задана последовательность{xn}, xn – общий элемент последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности {xn}, если для любого ε>0 существует номер N=N(ε)>0 такой, что для всех номеров n>N выполняется неравенство | xn –A| < ε. . Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

29.Определение бесконечно большой и бесконечно малой последовательности. Связь между ними. Операции над бесконечно малыми последовательностями.

Бесконечно малой наз. последовательность, предел которой равен нулю. Бесконечно большой величиной наз. переменная величина, абсолютное значение которой неограниченно возрастает. Связь между ними: если у – бесконечно большая величина, то — бесконечно малая; если у – бесконечно малая величина, то — бесконечно большая.

Сравнение бесконечно малых величин: 1)если отношение двух бесконечно малых величин само бесконечно мало( т. е. lim=0, а значит