Следствия условий коши-римана

Следствия условий Коши-Римана : Попробуйте показать самостоятельно, что

1.  Действительная и мнимая части аналитической функции удовлетворяют уравнению Лапласа:

uxx+uyyºDu=0 ; vxx+vyyºDv=0

2. Действительная и мнимая части аналитической функции f(z)=u(r, j)+iv(r, j) комплексной переменной z=reij связаны соотношениями:

vj=rur, uj=-rvr.

3. Модуль и аргумент аналитической функции f(z)=R(x, y)eiF(x, y) связаны соотношениями:

Rx=RFy, Ry=-RFx

п.3. Свойства аналитических функций.

1.  Если f(z)ÎC¥(g) (аналитическая в g), то f(z)ÎC(g) (непрерывна в g).

2.  Сумма и произведение аналитических функций есть аналитическая функция. Частное аналитических функций есть аналитическая функция всюду, где знаменатель отличен от нуля.

3.  Если w=f(z)ÎC¥(g) аналитическая функция комплексной переменной z, причем в области ее значений G на плоскости w определена аналитическая функция x=j(w)ÎC¥(G), то функция F(z)= j[f(z)]ÎC¥(g) — аналитическая функция комплексной переменной z в области g.

4.  Пусть w=f(z)=u(x, y)+iv(x, y)ÎC¥(g) и f'(z0)¹0, z0Îg. Тогда в окрестности точки w0=f(z0) определена обратная аналитическая функция z=j(w)ÎC¥(|w-w0|<e) отображающая эту окрестность на окрестность точки z0, причем j'(w0)=1/ f'(z0).

Доказательство. Для существования обратной функции необходимо, чтобы уравнения u=u(x, y), v=v(x, y) можно было разрешить относительно x, y в окрестности точки w0. Т. е. эти уравнения задают неявные функции x, y как функции u, v. Для этого достаточно, чтобы в окрестности точки z0 выполнялось условие: ¹0. Но =uxvy-uyvx=(Коши-Римана)= ux2+vy2=|f'(z0)|¹0. Доказано существование обратной функции z=j(w). Cоставив разностное отношение можно доказать существование и непрерывность производной j'(w0) при условии |f'(z0)|¹0. n

5.  Пусть в односвязной области g плоскости (x, y) задана функция u(x, y), являющаяся действительной частью аналитической функции f(z). Тогда мнимая часть этой функции определяется с точностью до аддитивной постоянной.

Доказательство. В силу условий Коши-Римана дифференциал неизвестной функции v(x, y) однозначно определен по функции u(x, y):

dv=vxdx+vydy=-uydx+uxdy.

Функцию двух действительных переменных можно определить по ее полному дифференциалу с точностью до аддитивной постоянной. n

6.  Аналитическую функцию можно восстановить по ее действительной или мнимой части:

где

7.  grad u=(ux, uy), grad v=(vx, vy), (grad u, grad v)=uxvx+ uy vy=- uy vy+ uy vy=0. Т. к. градиент ортогонален линии уровня => линии уровня u(x, y)=c, v(x, y)=c взаимно ортогональны.

п.4. Геометричесский смысл модуля и аргумента производной аналитической функции.

Пусть функция f(z) является аналитической в области g и производная в точке z0 отлична от 0.

Следовательно

где

не зависит от выбора кривой γ.

Это свойство называется Свойством постоянства растяжений.

Геометрический смысл модуля производной:

При отображении бесконечно малые линейные элементы преобразуются подобным образом, причем модуль производной является коэффициентом преобразования подобия.

Геометрический смысл аргумента производной:

Аргумент производной в точке z0 определяет величину угла, на которую нужно повернуть касательную к любой гладкой кривой, проходящей через точку z0, чтобы получить касательную к образу этой кривой в точке w0=f(z0).

не зависит от выбора γ1. Следовательно для любого контура γ2:

z0Îg2 : F2=j2+a => F=F2—F1=j2—j1=j (сохраняется величина и направление углов) — это свойство называется Свойством сохранения углов.

Примеры простейших функций комплексной переменой.

1.  Константа: f(z)=C — аналитическая на расширенной комплексной плоскости. f'(z)=0.

2.  Линейная функция f(z)=az+b аналитическая на всей комплексной плоскости. f'(z)=a.

3.  f(z)=1/z — аналитическая всюду, кроме точки z=0.

4.  f(z)=zn n-целое число — аналитическая на всей комплексной плоскости. f'(z)=nzn-1 .

5.  f(z)=`z=x-iy — не аналитическая. ux=1¹vy=-1;

§5. Интеграл от функции комплексной переменной по кривой на комплексной плоскости.

п.1. Вспомогательные положения.

1)  Кусочно-гладкая кривая— Множество точек z=z(t)=x(t)+iy(t), где tÎ[a, b] действительный параметр. x(t), y(t) ÎC[a, b]; x'(t), y'(t) — кусочно- непрерывные на [a, b];. x’2(t)+y’2(t)¹0 — нет точек возврата, нет точек самопересечения. Если замкнутая кривая, то x(a)=x(b), y(a)=y(b).

2)  Криволинейные интегралы второго рода по кривой на плоскости (x,y).

òc P(x, y)dx+Q(x, y)dy=; где

.

|Dzk|=[(Dxk)2+(Dyk)2]1/2

При этом предел не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора промежуточных точек.

Достаточными условиями существования криволинейного интеграла II рода являются : кусочная гладкость кривой C, кусочная непрерывность и ограниченность функций P и Q.

п.2. Основное определение. Интегралом от функции комплексно переменной f(z)=u(x,y)+iv(x,y) по кривой C комплексной плоскости z называется комплексное число, действительная и мнимая части которого есть криволинейные интегралы второго рода от действительной и мнимой частей f(z) вида: òc f(z)dz=òc [u(x, y)+iv(x, y)] (dx+idy)= òc udx-vdy +iòc vdx+udy.

Замечание.

1.  Достаточное условие существования- кусочная гладкость контура C и кусочная непрерывность и ограниченность |f(z)|.

2.  Из этого определения и определения криволинейного интеграла II рода => $ Sn=òc f(z)dz; Sn=f(zi*)Dzi, причем предел не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора промежуточных точек.