Учебные материалы по математике | Следствие интегральной формулы коши | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Следствие интегральной формулы коши


Формула (17) позволяет вычислять контурные интегралы вида

. (18)

Следствие интегральной формулы Коши

Если функция − аналитическая функция в замкнутой области и имеет производные всех порядков, то данные производные можно получить по следующей формуле Коши:

(19)

Используется для вычисления контурных интегралов вида

.

Направление интегрирования в формулах (18)–(19) считается положительным, − любая внутренняя точка области , ограниченная контуром .

Задача 10. Вычислить интеграл , где контур задан следующими вариантами:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение

а) − особые точки функции =.

Все точки лежат вне контура (см. рис. 9). Следовательно, внутри области, ограниченной этим контуром, подынтегральная функция является аналитической.

По теореме Коши для односвязной области (16)

= 0.

б) Внутрь контура попадает одна точка (см. рис. 10).

Используют интегральную формулу Коши. Преобразуют подынтегральное выражение. функция является аналитической в круге .

по формуле (18) для функции и точки

в) Внутрь контура попадает одна точка (см. рис. 11). Используют интегральную формулу Коши. Преобразуют подынтегральное выражение.

Функция, выделенная в числителе, является аналитической в рассматриваемой области.

Тогда по формуле (18) получают

г) Внутрь контура попадают две точки и (см. рис. 12). особые точки ограничивают окружностями достаточно малых радиусов − и с центрами в этих точках так, чтобы они не пересекались и целиком лежали внутри контура .

В трехсвязной области, ограниченной контурами , и подынтегральная функция является аналитической.

По теореме Коши для -связной области получают

=

Задача 11. Вычислить интеграл.

Решение

Для функции точка − особая точка. Она является кратной и попадает внутрь контура . Используют следствие интегральной формулы Коши (для , ). Функция − аналитическая в области .

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод