Следствие интегральной формулы коши
Формула (17) позволяет вычислять контурные интегралы вида
. (18)
Следствие интегральной формулы Коши
Если функция − аналитическая функция в замкнутой области и имеет производные всех порядков, то данные производные можно получить по следующей формуле Коши:
(19)
Используется для вычисления контурных интегралов вида
.
Направление интегрирования в формулах (18)–(19) считается положительным, − любая внутренняя точка области , ограниченная контуром .
Задача 10. Вычислить интеграл , где контур задан следующими вариантами:
а) ; б) ; в) ; г) .
Решение
а) − особые точки функции =.
Все точки лежат вне контура (см. рис. 9). Следовательно, внутри области, ограниченной этим контуром, подынтегральная функция является аналитической.
По теореме Коши для односвязной области (16)
= 0.
б) Внутрь контура попадает одна точка (см. рис. 10).
Используют интегральную формулу Коши. Преобразуют подынтегральное выражение. функция является аналитической в круге .
по формуле (18) для функции и точки
в) Внутрь контура попадает одна точка (см. рис. 11). Используют интегральную формулу Коши. Преобразуют подынтегральное выражение.
Функция, выделенная в числителе, является аналитической в рассматриваемой области.
Тогда по формуле (18) получают
г) Внутрь контура попадают две точки и (см. рис. 12). особые точки ограничивают окружностями достаточно малых радиусов − и с центрами в этих точках так, чтобы они не пересекались и целиком лежали внутри контура .
В трехсвязной области, ограниченной контурами , и подынтегральная функция является аналитической.
По теореме Коши для -связной области получают
=
Задача 11. Вычислить интеграл.
Решение
Для функции точка − особая точка. Она является кратной и попадает внутрь контура . Используют следствие интегральной формулы Коши (для , ). Функция − аналитическая в области .