Следствие интегральной формулы коши

Следствие интегральной формулы Коши

Если функция − аналитическая функция в замкнутой области и имеет производные всех порядков, то данные производные можно получить по следующей формуле Коши:

(19)

Используется для вычисления контурных интегралов вида

.

Направление интегрирования в формулах (18)–(19) считается положительным, − любая внутренняя точка области , ограниченная контуром .

Задача 10. Вычислить интеграл , где контур задан следующими вариантами:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение

а) − особые точки функции =.

Все точки лежат вне контура (см. рис. 9). Следовательно, внутри области, ограниченной этим контуром, подынтегральная функция является аналитической.

По теореме Коши для односвязной области (16)

= 0.

б) Внутрь контура попадает одна точка (см. рис. 10).

Используют интегральную формулу Коши. Преобразуют подынтегральное выражение. функция является аналитической в круге .

по формуле (18) для функции и точки

в) Внутрь контура попадает одна точка (см. рис. 11). Используют интегральную формулу Коши. Преобразуют подынтегральное выражение.

Функция, выделенная в числителе, является аналитической в рассматриваемой области.

Тогда по формуле (18) получают

г) Внутрь контура попадают две точки и (см. рис. 12). особые точки ограничивают окружностями достаточно малых радиусов − и с центрами в этих точках так, чтобы они не пересекались и целиком лежали внутри контура .

В трехсвязной области, ограниченной контурами , и подынтегральная функция является аналитической.

По теореме Коши для -связной области получают

=

Задача 11. Вычислить интеграл.

Решение

Для функции точка − особая точка. Она является кратной и попадает внутрь контура . Используют следствие интегральной формулы Коши (для , ). Функция − аналитическая в области .