Скалярное произведение

Пример:

a=(1; 2)=i+2j

b=(2; 1)=2i+j

a≠b

Орт вектора а – это единичный вектор, совпадающий по направлению с а

Квадрат длины вектора в ортонормированном базисе равен сумме квадратов координат.

Пусть (ах, ау, аz) — координаты точки А. Тогда вектор

ra=(ax, ay, az) называется её радиус-вектором.

Если есть две точки А(aх,aу, аz), и В(bх ,bу,bz), то вектор

АВ=( bx—ax, by—ay, bz—az)

Скалярное произведение.

Заметим, что это не алгебраическая операция.

Механический смысл скалярного произведения.

а –вектор силы, b – вектор пути. (а; b) – работа.

Свойства скалярного произведения

1. коммутативность (а; b)= (b; a)

2. (а; b)=0 ó a ^b

нулевой вектор считается ортогональным любому вектору.

3. (λа; b)= (а; λb)=λ(а; b), где λ – скаляр.

4. Пусть а=( ax, ay, az), b=(bx, by, bz), тогда

аb=(ax i+ay j+ az k)(bx i +by j +bz k)=

=axbx(i; i)+axby(i; j)+axbz(i; k)+aybx(j; i)+ayby(j; j)+aybz (j; k)+

+azbx(k; i)+azby(k; j)+azbz(k; k)=axbx+ayby+azbz

Следовательно, скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе равно сумме покоординатных произведений.

Пример:

а=(1,1,1.1), b=(0,1,2,3)

(a; b) = 6

Правая и левая тройки векторов.

В трёхмермерном пространстве базисную тройку называют правой, если она соответствует рисунку

Правая рука ладонью вверх, большой палец направлен по первому вектору, четыре других пальца направлены по второму, а третий вектор направлен вверх, то есть по открытой руке.

Стандартный базис (i; j; k) представляет собой правую тройку.

В трёхмермерном пространстве базисную тройку называют левой, если она соответствует рисунку

Левая рука ладонью вверх, большой палец направлен по первому вектору, четыре других пальца направлены по второму, а третий вектор направлен вверх, то есть по открытой руке.

Пример:

Определим, какой является тройка векторов, правой или левой

а) (1; 2; 0), (-1; 0; 1), (3; 4; 5)

направим большой палец правой руки по первому вектору, четыре других пальца – по второму вектору, видим, что третий вектор будет «выходить» из ладони. Следовательно, это правая тройка.

б) (1; 2; 3), (-1; 0; 1), (-3; 4; 5)

попробуем опять проделать тоже с правой рукой. Третий вектор выходит с внешней стороны руки. Это левая тройка. Попробуем проделать всё с левой рукой. Теперь третий вектор выходит из ладони.

Лекция 3.

Пример:

— матрица; (квадратная матрица второго порядка.)

=1*4-2*3=4-6=-2 — её определитель.

Приняты обозначения определителя для матрицы А:

; detA; A

Пример:

=45+96+84-105-48-72=0

Векторное произведение – это алгебраическая операция в пространстве трёхмерных векторов.

Дадим её определение.

Векторное произведение [а;b] есть момент силы b, приложенной к точке А относительно начала координат.

Модуль векторного произведения двух векторов равен площади параллелограмма, натянутого на эти векторы.

Свойства векторного произведения.

1) [а; b]=[- b; а] — антикоммутативность

2) [а; b]=0, следовательно, а||b

3) [(а); b]=[а; b]

4) [а;(b+с)]=[а; b]+[а; с] – дистрибутивность относительно сложения.

Утверждение

Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе, а=(ах, аy, az); b=(bx, by, bz), то

[а; b]==i — j + k

Без доказательства.