Скалярное произведение векторов в координатной форме

– формулы для определения координат точки

Если , получаем частный случай формул:

д) Рассмотрим скалярное произведение векторов в координатной форме.

Пусть и , т. е. ,

.

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

е) Найдем углы вектора с координатными осями (направляющие косинусы).

, ,

,

ж) Определим углы между векторами. Исходя из скалярного произведения и его выражения в координатной форме, получим соответствующую формулу.

,

,

.

Векторы будут перпендикулярны, если , т. е. сумма произведений их одноименных координат равна нулю.

Чтобы вектор был параллелен вектору , необходимо и достаточно выполнения равенства: или , или . Для параллельности векторов необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны. Если знаменатель равен 0, то это соотношение не рассматривается.

Пример 20. Даны векторы , . Найти , , .

Решение.

,

.

Ответ: ; ; ; .

Пример 21. Заданы две точки: , . Найти проекции вектора на оси и его направляющие косинусы?

Решение.

,

.

Пример 22. Заданы два вектора , . Найти скалярное произведение и угол между векторами.

Решение.

,

, ,

.

Пример 23. Даны 4 точки: , , , . Найти угол между векторами и .