Системы линейных однородных уравнений

3.3. Системы линейных однородных уравнений

Система линейных уравнений называется однородной, если свободные члены уравнений равны нулю. Такая система имеет вид

Однородная система всегда совместна. Это следует из теоремы Кронекера-Капелли. Кроме того, значения неизвестных образуют решение системы, оно называется нулевым или тривиальным.

Для однородной системы важно установить, имеет ли она ненулевые решения. Ответ на этот вопрос следует из второй теоремы Кронекера-Капелли.

Следствие 1. Если в однородной системе число неизвестных больше числа уравнений, то система, помимо нулевого решения, обладает еще и ненулевыми.

Следствие 2. Для того чтобы однородная система линейных уравнений с неизвестными обладала и ненулевыми решениями, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы равнялся нулю.

Пример 16. Решить однородную систему четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными

Найдем ранг матрицы системы

Как, видим определитель матрицы будет равен нулю, и ранг будет меньше .

Так как есть определитель третьего порядка, отличный от нуля,

то ранг матрицы равен трем. Следовательно, система имеет и ненулевые решения.

Заданная система эквивалентна такой:

Мы взяли первые три линейно независимых уравнения с определителем, не равным 0. Так как определитель, состоящий из коэффициентов при неизвестных , отличен от нуля, то, перенеся в правую часть, решим систему трех уравнений с тремя неизвестными

Решим систему по правилу Крамера:

,

Следовательно,

.

Для контроля можно подставить это решение во все четыре заданные уравнения системы и убедиться, что система решена правильно. Для нахождения любого конкретного решения необходимо задать значение и подсчитать соответствующие значения других переменных.

4. Элементы векторной алгебры и метода координат

4.1. Векторные величины и действия над ними

Величины, для характеристики которых достаточно задать их численное значение (например, температура, объем, масса тела, плотность и т. д.), называются скалярными величинами или скалярами.

Величины, которые кроме своей абсолютной величины характеризуются еще и направлением (например, сила, скорость, ускорение и т. д.), называют векторными. Выбрав единицу длины, векторные величины можно изображать геометрическими векторами.

Вектором называется направленный отрезок или упорядоченная пара точек. На чертеже вектор изображается отрезком прямой, на котором отмечено направление (рис.1). Над буквенным обозначением вектора, имеющего началом точку , а концом точку , ставится стрелка: . Вектор обозначают также и одной буквой, но напечатанной жирным шрифтом: или .

К векторам будем относить и так называемый нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают. Он обозначается .

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем. Модуль вектора обозначается так: или .

Векторы, параллельные одной прямой или лежащие на прямой, называются коллинеарными, а векторы, расположенные в одной плоскости или параллельные одной и той же плоскости, – компланарными. Радиус-вектором точки называется вектор, направленный из начала координат в точку (это вектор ).

Два вектора (рис. 2) называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине. Равенство векторов записывается так: . Если векторы имеют одинаковую длину, но противоположные направления, то они называются взаимнопротивоположными.

Из определения равенства векторов следует, что при параллельном переносе вектора получается вектор, равный исходному. Поэтому начало вектора можно помещать в любую точку пространства. Векторы, начало которых при параллельном переносе можно помещать в любую точку пространства, называют свободными.

Над векторами можно выполнить различные линейные действия:

а) Произведением вектора а на число называется вектор , имеющий (при ) направление вектора , если , и противоположное направление, если . Длина вектора равна произведению длины вектора а на модуль числа . Следовательно, вектор коллинеарен вектору . Результат умножения вектора на число записывается равенством .