Учебные материалы по математике | Системы линейных неоднородных уравнений | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Системы линейных неоднородных уравнений


образуют линейно независимую систему.

Составим матрицу коэффициентов функций и найдем ее ранг

~ ~

Матрица приведена к треугольному виду, ее ранг равен 3. (Можно было вычислить , значит, ). Следовательно, функции линейно независимы.

3.2. Системы линейных неоднородных уравнений

Пусть дана произвольная система линейных уравнений:

Обозначим через матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных системы, а через – матрицу, полученную из присоединением столбца свободных членов:

Матрица называется матрицей системы уравнений, а матрица расширенной матрицей этой системы.

Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы равнялся рангу расширенной матрицы . Если ранг матрицы равен рангу матрицы и равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг матрицы равен рангу матрицы , но меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество различных решений.

Замечание. При исследовании на совместность системы линейных уравнений иногда удобнее начинать с вычисления ранга расширенной матрицы , тогда попутно легко установить и ранг матрицы .

Пример 14. Установить совместность системы уравнений и число решений:

Составим расширенную матрицу и, пользуясь правилом прямоугольника, найдем ранг

Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы – значит, система линейных уравнений совместна. Поскольку ранг равен числу переменных, то система имеет единственное решение – оно было найдено раньше с помощью метода Гаусса.

Пример 15. Проверить, совместна ли система уравнений и каким будет решение.

.

Система уравнений совместна, а т. к. ранг меньше числа переменных, то она имеет бесчисленное множество решений. Оставим первые два линейно независимых уравнения и перенесем слагаемое с в правую часть ( называется свободной переменной).

Решаем по правилу Крамера

;

.

Задавая любые значения , будем получать множество значений и . Например, пусть , тогда . Или пусть , .

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод